On the mutual threading of vortex rings. (Q1460946)

Es wird die Relativbewegung zweier koaxialer Wirbelringe untersucht. An dem einfacheren Beispiel zweier Paare geradliniger paralleler Wirbel mit gemeinsamer Symmetrieebene wird zunächst die Untersuchungsmethode erläutert, und für den Fall gleicher Wirbelstärken der beiden Paare werden die Bewegungsgleichungen vollständig integriert und diskutiert. Dann folgt das Problem der zwei Ringe. Bezeichnungen: \(x_1\), \(x_2\) Abstände der Wirbelringmitten von der Achse, \(y_1\), \(y_2\) Abstände von einer festen Bezugsebene senkrecht zur Achse, \(r_1\), \(r_2\) Radien der Wirbelquerschnitte, \(\mu_1\), \(\mu_2\) Zirkulationskonstanten der beiden Ringe. Aus den nach den Helmholtzschen Gesetzen (Analogie des Biot-Savartschen Gesetzes) folgenden Bewegungsgleichungen folgt zunächst, was auch elementar zu erkennen ist, \[ \mu_1x_1^2 + \mu_2x_2^2 = A = \text{const.} \] was die Einführung eines Parameters \(\vartheta\) nahelegt, durch den \(x_1\) und \(x_2\) in der Form \[ x_1 = \sqrt{\frac A{\mu_1}} \cos \vartheta = \frac{d\cos\vartheta}{\cos\alpha} ; \quad x_2 = \sqrt{\frac A{\mu_2}} \sin \vartheta = \frac{d\sin\vartheta}{\sin\alpha} \] dargestellt werden. Die Bahnkurve der Relativbewegung des ersten gegen den zweiten Ring wird ermittelt, und es werden die Relativkoordinaten \(x = x_1 - x_2\), \(y = y_1 - y_2\) als Funktionen des Parameters \(\vartheta\) und der Anfangswerte dargestellt. Die Anfangswerte sind dabei die Ringradien \(x_1 = a\), \(x_2 = b\) für die Lage, wo \(y_1 = y_2\) ist, die Ringe also in einer Ebene liegen. Die Parameterbereiche, für welche die beiden Ringe umeinander rotierend in gegenseitiger Nähe bleiben, sind von den Bereichen, wo die Ringe sich voneinander entfernen, durch einen Grenzfall getrennt, bei welchem die Relativgeschwindigkeit der Ringe gegeneinander mit wachsendem Abstände gegen Null geht. Daraus werden die Bedingungen des Zusammenbleibens ermittelt und Spezialfälle (z. B. \(\mu_1= \mu_2\), \(\mu_1 = - \mu_2\)) diskutiert.