Besitzt jede reelle Zahl eine Dezimalbruchentwicklung? (Q1461176)

Diese Arbeit knüpft, was Standpunkt und Formulierung betrifft, aufs engste an des Verf. ``Begründung der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten'' (Amst. Ak. Verhandel. 12, 1. Teil, 1918, 2. Teil, 1919; F. d. M. 47, 171 (JFM 47.0171.*), 1919-20) an. Wesentlich ist, daß der Verf. alles, was nicht entschieden oder entscheidbar ist, ausschaltet und nur rein konstruktive Verfahren zuläßt. -- Er definiert hier (im \S 6) folgendermaßen eine reelle Zahl \(r\), die (von seinem Standpunkt aus) keine unendliche Dezimalbruchentwicklung zuläßt: \(c_n\) sei die \(n\)-te Ziffer der unendlichen Dezimalbruchentwicklung von \(\pi\); nun wird \(r\) definiert mittels der unendlichen Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty a_n \cdot 10^{-n-1}, \] wobei \[ \begin{matrix} \l \\ a_n = \;0, \text{ wenn } c_n, c_{n+1}, \dots, c_{n+4} \text{ alle gleich sind,} \\ a_n = 10, \text{ wenn } c_n, c_{n+1}, \dots, c_{n+9} \text{ alle verschieden sind,} \\ a_n = \;9, \text{ wenn keiner dieser beiden Fälle vorliegt.} \end{matrix} \] In ähnlicher Weise wird eine reelle Zahl \(r\) mit Dezimalbruchentwicklung definiert, ohne daß sich für jeden endlichen Dezimalbruch \(g\) über die Relation \(g \leqq r\) die Entscheidung herbeiführen läßt. -- Vorher wird für die reellen algebraischen Zahlen (\S 4) und für die Zahl \(\pi\) (\S 5; der Lambertsche negative Irrationalitätsbeweis wird in positive Form gebracht) die Existenz der Dezimalbruchentwicklung gesichert. (II 9, III.)