Über algebraische Gleichungen mit reellen Wurzeln und den sogenannten casus irreducibilis bei kubischen Gleichungen. (Q1461231)

Verf. beweist folgenden Satz: \(I(x) = 0\) sei eine in dem reellen Körper \(P\) irreduzible Gleichung mit lauter reellen Wurzeln. Eine Wurzel \(\varphi_1\) dieser Gleichung lasse sich rational mit Koeffizienten aus \(P\) durch die reellen Größen \(\varrho_1, \varrho_2, \dots, \varrho_k\) darstellen; dabei genüge \(\varrho_i\) einer in \((P, \varrho_1, \varrho_2, \dots, \varrho_{i-1})\) irreduziblen Gleichung \(X_i (x) = 0\) (\(i = 1, 2, \dots, k\)). Die Grade aller \(k\) Hilfsgleichungen \(X_i(x) = 0\) seien Primzahlen. Hat \(I(x) = 0\) den Grad \(n = p_1 p_2 \dots p_f\), wobei \(p_1, p_2, \dots, p_f\) lauter (auch gleiche) Primzahlen bedeuten, so muß das Gleichungssystem \(X_i(x) = 0\) (\(i = 1, 2, \dots, k\)) mindestens \(f\) Gleichungen der Grade \(p_1, p_2, \dots, p_f\) enthalten, und jede dieser \(f\) unvermeidlichen Gleichungen besitzt ausnahmslos reelle Wurzeln. Der Satz wird ohne Galoissche Theorie hergeleitet. Da die binomische Gleichung \(x^p = a\) nur für \(p = 2\) lauter reelle Wurzeln hat, ist hiermit ein elementarer Beweis des Satzes von Hölder (Math. Ann. 38, 1891) geliefert, daß irreduzible Gleichungen mit lauter reellen Wurzeln, von denen sich eine durch reelle Radikale darstellen läßt, den Grad \(2^m\) haben müssen. Im besonderen kann also keine Wurzel einer kubischen irreduziblen Gleichung mit lauter reellen Wurzeln durch reelle Radikale dargestellt werden (sog. casus irreducibilis der kubischen Gleichung).