Über Kriterien für irreduzible und für primitive Gleichungen und über die Aufstellung affektfreier Gleichungen. (Q1461243)

Verf. beweist folgenden allgemeinen Irreduzibilitätssatz: Das Polynom \[ f (x) \equiv a_0x^n + a_1p^{c_1}x^{n-1} + a_2p^{c_2}x^{n-2} + \cdots+ a_np^{c_n}, \] bei dem \(p\) eine Primzahl, \(a_0\), \(a_1\), \(a_2\), \(\ldots\), \(a_n\) ganzzahlig und durch \(p\) nicht teilbar sind, ist, wenn keine der positiven Zahlen \(\dfrac{c_i}i\) (\(i = 1,\, 2,\,\ldots,\, n\)) kleiner als \(\dfrac{c_{n-k}}{n-k}\) ist, im Körper der rationalen Zahlen entweder irreduzibel, oder es besitzt im Falle der Reduzibilität stets einen Faktor, dessen Grad die Gestalt \[ \lambda\frac{n-k}t +\mu \] hat, wo \(t\) den größten gemeinsamen Teiler von \(c_{n-k}\) und \(n-k\) bedeutet und \(\lambda\), \(\mu\) ganze Zahlen sind, die den Ungleichungen \(\lambda\geqq0\), \(0\leqq\mu\leqq k\) genügen. Ist \(c_{n-k}\) zu \(n - k\) teilerfremd, so hat also \(f(x)\), wenn es reduzibel ist, stets einen Faktor, dessen Grad nicht kleiner als \(n- k\) ist. Im besonderen ist demnach, falls \(c_n\) und \(n\) teilerfremd sind, \(f(x)\) irreduzibel. Spezialisiert man \(c_n = 1\), \(c_i\geqq1\) (\(i = 1,\, 2,\,\ldots,\, n - 1\)), so hat man das Schoenemann-Eisensteinsche Irreduzibilitätekriterium, das bei dieser Verallgemeinerung in einer vom üblichen Beweise abweichenden Art erwiesen wird. Weiter leitet Verf. auch ein Kriterium für die Primitivität einer Gleichung ab: Sind bei einer irreduziblen ganzzahligen Gleichung \(x^n + a_1 x^{n-1} +\cdots+a_{n-1}x+a_n=0\) alle Koeffizienten \(a_i\) durch die Primzahl \(p\) teilbar, und zwar \(a_{n-1}\) genau durch die erste Potenz von \(p\), aber \(a_n\) mindestens durch die zweite, so ist die Gleichung primitiv. Die gefundenen Kriterien lassen sich dazu verwenden, für jeden Grad \(n\) irreduzible primitive ganzzahlige Gleichungen mit genau zwei komplexen Wurzeln zu bilden ; solche sind für \(n > 4\), wenn \(b_1,\, b_2,\,\ldots,\,b_{n-4}\) untereinander verschiedene ganze Zahlen bedeuten, die größer als 1 sein sollen, die Gleichungen: \[ z^4(x -2b_1)(x- 2b_2) \cdots(x- 2b_{n-4}) - (-1)^n (2x + 4) = 0. \] Diese Gleichungen sind affektlos; denn Verf. zeigt in Erweiterung eines von H. Weber in seiner Algebra, Bd. l, zweite Aufl., S. 653 für den Primzahlgrad bewiesenen Satzes, daß eine irreduzible Gleichung, die genau zwei komplexe Wurzeln hat, wenn sie primitiv ist, keinen Affekt besitzt.