Über die Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung in einem Kreise. (Q1461252)

Die inhaltsreiche, von I. Schur angeregte und an seine Untersuchungen (I. Schur, J. für Math. 147, 205, 148, 134, F. d. M. 46, 475 (JFM 46.0475.*), 1916-18; Math. Zeitschr., 1, 387, F. d. M. 46, 128 (JFM 46.0128.*), 1916-18) anknüpfende Arbeit bestimmt, und zwar mittels algebraischer Methoden, die genaue Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung im Innern und auf dem Rande des Einheitskreises. Im ersten Kapitel wird aus einer Gleichung \(f (x) \equiv a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots +a_n = 0\) vom \(n\)-ten Grade eine solche niedrigeren Grades \(f_1(x) = 0\) hergeleitet, die von dem Verhalten der Koeffizienten \(a_0\) und \(a_n\) zueinander abhängt und entweder ebensoviele oder eine Wurzel weniger als \(f(x) = 0\) im Innern des Einheitskreises besitzt. Für \(|a_0| > | a_n|\) ist \(f_1(x) = \dfrac{\bar a_0f(x)-a_nf^*(x)}{x}\) zu wählen, und \(f_1(x) = 0\) hat im Innern des Einheitskreises eine Wurzel weniger als \(f(x) = 0\). Falls \(|a_0| < | a_n|\), ist \(f_1(x) = \bar a_nf(x)-a_0f^*(x)\) zu nehmen, und \(f_1(x) = 0\) besitzt im Innern des Einheitskreises ebensoviele Wurzeln wie \(f(x) = 0\). Hierbei ist \(f^*(x) = x^n\bar f \left(\dfrac1x\right) = \bar a_nx^n+ \bar a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + \bar a_0\), und \(\bar a_i\) und \(a_i\) sind stets konjugiert imaginäre Größen. Wenn \(|a_0| = | a_n |\), sind zwei Fälle zu unterscheiden. Verfährt man mit \(f_1(x) = 0\) nach derselben Regel wie mit \(f(x)\), so kommt man, da die Gleichungsgrade immer abnehmen, spätestens nach \(n - 1\) Schritten zu einer Gleichung, von der man weiß, wieviel Wurzeln sie im Innern des Einheitskreises besitzt. Ein analoges Verfahren gestattet auch die Gleichungswurzeln auf dem Rande des Einheitskreises zu finden. Aus des Verf.s Regel ergibt sich unmittelbar das folgende Schursche Theorem: Dann und nur dann liegen alle Wurzeln von \(f (x) = 0\) im Innern des Einheitskreises, wenn \(|a_0| > | a_n |\) und \(f_1(x) = \dfrac{\bar a_0f(x)-a_nf^*(x)}x=0\), wobei \(f^*(x)\) die oben angegebene Bedeutung hat, sämtliche Wurzeln im Innern des Einheitskreises besitzt. Aus des Verf.s Regel ergibt sich auch folgendes, von Schur durch Betrachtung von Potenzreihen gefundene Resultat: \(f (x) = 0\) hat dann und nur dann lauter verschiedene Wurzeln vom absoluten Betrage 1, wenn die Abgeleitete \(f'(x) = 0\) sämtliche Wurzeln im Innern des Einheitskreises hat und \(a_0\bar a_\nu = \bar a_na_{n-\nu}\) (\(\nu = 0,\, 1,\, 2,\,\ldots,\, n\)) ist. (I. Schur, J. für Math. 148, 136.) Im zweiten Kapitel werden die zu einer ganzen rationalen Funktion, die wir jetzt in der Gestalt \(g(x) \equiv a_0 + a_1x + a_2x^2 +\cdots+ a_n x^n\) annehmen, zugehörigen Hermiteschen Formen studiert. Verf. beweist: Bringt man die Hermitesche Form: \[ \mathfrak H = \sum_{\lambda=1}^n \left|\bar a_nx_\lambda + \bar a_{n-1}x_{\lambda+1} + \cdots+ \bar a_\lambda x_n\right|^2 \sum_{\lambda=1}^n \left|a_0x_\lambda + a_1x_{\lambda+1} + \cdots + a_{n-\lambda} x_\lambda\right|^2 \] in die Normalform und besitzt diese \(\pi\) positive und \(\nu\) negative Quadrate, so hat \(g(x) = 0\), falls \(\pi + \nu = n\) ist, \(\pi\) Wurzeln im Innern und \(\nu\) Wurzeln außerhalb des Einheitskreises. Es ist dies die Verallgemeinerung eines für \(\nu = 0\) von Schur stammenden und von ihm funktionentheoretisch bewiesenen Satzes. Statt der Form \(\mathfrak H\) wird weiter die von einem Parameter \(r\) abhängige Hermitesche Form: \[ \begin{aligned} \mathfrak H(r) &= \sum_{\lambda=1}^n \left|\bar a_nr^nx_\lambda + \bar a_{n-1}r^{n-1}x_{\lambda+1} +\cdots+ \bar a_\lambda r^\lambda x_n\right|^2 \\ &{}-\sum_{\lambda=1}^n \left| a_0x_\lambda +a_1rx_{\lambda+1} +a_2r^2x_{\lambda+2} +\cdots+ a_{n-\lambda}r^{n-\lambda}x_\lambda \right|^2 \end{aligned} \] betrachtet. Sie und ihre Abschnittsdeterminanten liefern eine Sturmsche Kette für die absoluten Beträge der Wurzeln von \(g(x) = 0\). Die Anzahl der beim Übergang von \(r_1\) zu \(r_2\) verloren gehenden Vorzeichenwechsel der Kette der Abschnittsdeterminanten \[ \kern-2.5em \delta_\nu(r)= \begin{vmatrix} a_nr^n\hfill &0\hfill &\ldots &0\hfill &a_0\hfill &a_1r\hfill &\ldots &a_{\nu-1}r^{\nu-1}\hfill \\ a_{n-1}r^{n-1}\hfill &a_nr^n\hfill &\ldots &0\hfill &0\hfill &a_0\hfill &\ldots &a_{\nu-2}r^{\nu-2}\hfill \cr \multispan8\dotfill \\ a_{n-\nu+1}r^{n-\nu+1}\hfill &a_{n-\nu+2}r^{n-\nu+2}\hfill &\ldots &a_nr^n\hfill &0\hfill &0\hfill &\ldots &a_0\hfill \\ \bar a_0\hfill &0\hfill &\ldots &0\hfill &\bar a_nr^n\hfill &\bar a_{n-1}r^{n-1}\hfill &\ldots &\bar a_{n-\nu+1}r^{n-\nu+1}\hfill \\ \bar a_1r\hfill &\bar a_0\hfill &\ldots &0\hfill &0\hfill &\bar a_{n}r^{n}\hfill &\ldots &\bar a_{n-\nu+2}r^{n-\nu+2}\hfill \cr \multispan8\dotfill \\ \bar a_{\nu-1}r^{\nu-1}\hfill &\bar a_{\nu-2}r^{\nu-2}\hfill &\ldots &\bar a_0\hfill &0\hfill &0\hfill &\ldots &\bar a_{n}r^{n}\hfill \end{vmatrix} \] ist nämlich, falls \(\delta_n(r_1) \neq 0\) und \(\delta_n(r_2)\neq0\) sind, gleich der Anzahl der Wurzeln von \(g(x) = 0\), deren absolute Beträge zwischen \(r_1\) und \(r_2\) liegen. Die Gleichung \(g (x) = 0\) besitzt keine Wurzel vom absoluten Betrage \(r_1\) oder \(r_2\). Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit Kompositionssätzen. Es wird ein neuer Beweis eines Satzes von Grace (Cambr. Phil. Soc. Proc. 11, 352, 1902, vgl. auch Szegö, Math. Zeitschr. 13, 28; Ref. oben) gegeben, der besagt: Sind \[ \begin{aligned} &A(x)\equiv a_0+ \binom n1a_1x+\binom n2 a_2x^2+\cdots+ a_nx^n = 0 \\ \noalign{\noindent und} &B(x)\equiv b_0+\binom n1 b_1x+\binom n2 b_2x^2 +\cdots+ b_nx^n=0 \end{aligned} \] zwei \(K\)-Gleichungen, so trifft dies auch für \[ C(x) \equiv a_0b_0 + \binom n1 a_1b_1x + \binom n2 a_2b_2x^2 + \cdots + a_nb_nx^n= 0 \] zu. Eine Gleichung heißt eine \(K\)-Gleichung, wenn ihre sämtlichen Wurzeln im Innern des Einheitskreises gelegen sind, wobei aber für die Wurzeln von \(B(x)=0\) nicht ausgeschlossen ist, daß sie im Inneren des Einheitskreises einschließlich seines Randes liegen [Berichtigung in JFM]. Von den weiter bewiesenen Sätzen nennen wir noch den von Egerváry: Haben \(A(x) = 0\) und \(B(x) = 0\) nur reelle Wurzeln, sind diejenigen von \(A(x) = 0\) ausnahmslos nicht negativ und kleiner als 1 und liegen alle Wurzeln von \(B(x) = 0\) im Intervall \(- a < x < + a\), so sind auch die Wurzeln von \(C(x) = 0\) sämtlich reell und in demselben Intervall wie diejenigen von \(B(x) = 0\) gelegen. Schließlich erwähnen wir noch die Erweiterung eines Satzes von E. Malo: Sind sämtliche Wurzeln von \(a_0 + a_1x +a_2x^2 + \cdots + a_nx^n=0\) reell und nicht positiv und befinden sich sämtliche Wurzeln von \(b_0 + b_1x + b_2x^2 +\cdots + b_nx^n = 0\) in der Halbebene \(\Im (x)\geqq 0\), so liegen auch die Wurzeln der Gleichung \(a_0b_0 + a_1b_1x + a_2b_2 x^2+ \cdots+a_nb_nx^n = 0\) sämtlich in dieser Halbebene.