Zur Theorie der Polynomideale und Resultanten. (Bearbeitet von Emmy Noether.) (Q1461287)

Die große Bedeutung dieser seit den Arbeiten von Kronecker und Mertens zur Eliminationstheorie wichtigsten Veröffentlichung auf diesem Gebiete beruht auf der Einführung der ''Resultantenform'', die alle Vorzüge der Kroneckerschen Gesamtresolvente eines Gleichungssystems ohne deren Nachteile besitzt, so daß sie geeignet erscheint, jene völlig zu ersetzen. Insbesondere sind die Exponenten ihrer irreduziblen Faktoren von der Basis unabhängig, können also mit Fug und Recht als Multiplizitäten der betreffenden Nullstellen angesprochen werden; ebenso gelingt der Beweis der Zerlegung in Linearfaktoren bei Einführung neuer Unbestimmten. Die Bearbeitung kehrt die prinzipiellen Methoden, insbesondere die Zurückführung des Problems auf Moduln aus Linearformen, aufs schönste heraus und ist insofern eine verdienstvolle eigene Leistung der Bearbeiterin. Ein Desideratum, freilich bleibt noch übrig, und erst seine Erfüllung wird die schönen Hentzeltschen Gedanken recht wirksam machen: Es wird uns nicht gesagt, wie man die Resultantenform bei gegebener Basis mit endlich vielen Schritten bilden soll! Und doch scheint Hentzelt selbst die betreffenden Methoden entwickelt zu haben; hoffentlich bleiben sie uns nicht mehr lange vorenthalten. Was die Methoden selbst betrifft, so besteht der Hauptgedanke darin, daß ein gegebenes Ideal aus Polynomen aufgefaßt wird als Modul \(\mathfrak M_{i-1}\) aus Linearformen in den Potenzprodukten von \(i-1\) der \(n\) Variablen, während als Koeffizienten Polynome in den \(n-i+1\) übrigen auftreten. Für die in Betracht kommenden Zwecke kann man sich trotz der unendlichen Anzahl dieser Potenzprodukte auf endlich viele beschränken und die Begriffe benutzen, die für Moduln aus Linearformen in endlich vielen Variablen entwickelt werden. Unter diesen sind die wichtigsten die Begriffe des ``Grundmoduls'' zu einem gegebenen Modul und der ``Norm'' des Grundmoduls nach dem gegebenen Modul; auch die Elementarteilertheorie spielt eine Rolle. In der Übertragung auf die Idealtheorie wird dann die Resultantenform das Produkt \(R^{(1)}R^{(2)}\ldots R^{(n)}\), wobei \(R^{(i)}\), die ``Resultante \(i\)-ter Stufe'', die Norm des Grundmoduls \(\mathfrak G_{i-1}\) von \(\mathfrak M_{i-1}\) nach \(\mathfrak M_{i-1}\) bedeutet. Die Einzelheiten der Entwicklung müssen in der Arbeit selbst nachgelesen werden.