Idealtheorie in Ringbereichen. (Q1461358)

Es handelt sich um die Übertragung der Zerlegungssätze der ganzen rationalen Zahlen, bzw. der Ideale in algebraischen Zahlkörpern auf allgemeine Ringe, die nur der Endlichkeitsbedingung genügen, daß in ihnen der Satz von der endlichen Kette gilt: Eine einfach geordnete Reihe von Idealen, von denen jedes ein echter Teiler des vorangehenden ist, bricht im Endlichen ab -- oder was damit identisch ist, jedes Ideal besitzt eine endliche Idealbasis. Unter dieser Voraussetzung existieren die -- im Fall der algebraischen Zahlkörper zusammenfallenden -- Darstellungen eines Ideals als Produkt von endlich vielen paarweise teilerfremden und teilerfremd-irreduzibeln Idealen; als kleinstes gemeinsames Vielfaches von endlich vielen gegenseitig primen und in diesem Sinn irreduzibeln Idealen; als kleinstes gemeinsames Vielfaches von endlich vielen größten primären Komponenten und schließlich als kleinstes gemeinsames Vielfaches von endlich vielen irreduzibeln Komponenten. Diese Darstellungen entstehen jeweils durch Unterspaltung aus einander; die beiden ersten sind eindeutig, bei den andern sind Anzahl der Komponenten und zugehörige Primideale eindeutig bestimmt. Ein weiterer Eindeutigkeitssatz, der sich in anschließenden Arbeiten als am wesentlichsten gezeigt hat, ist die eindeutige Bestimmtheit der isolierten Komponenten durch ihre Primideale. Die Beweise der Sätze ergeben sich alle als Folgerungen des Satzes über die irreduzibeln Komponenten; die Anzahlgleichheit wird hier mit Modulbetrachtungen bewiesen, denn sie ist in dem umfassenderen Fall des Modulbereichs erfüllt. Für Ideale im Gegensatz zu Moduln ist die Tatsache charakteristisch, daß jedes irreduzible Ideal zugleich primär wird; hieraus folgt die Eindeutigkeit der zugehörigen Primideale. Die getrennten Zerlegungen treten schon in dem einfachen Fall des Polynombereichs von zwei Unbestimmten auf (die in \S 10 der Arbeit noch beibehaltene Unbestimmte \(z\) kann überall weggelassen werden); im Polynombereich hat die hier entwickelte Theorie auch bis jetzt ihr Hauptanwendungsgebiet gefunden; sie ergibt aber auch für andere Gebiete eine Klärung der Grundbegriffe. Zu der in der Arbeit gegebenen historischen Übersicht ist hinzuzufügen, daß der Begriff des irreduzibeln Ideals sich in ganz anderer Fassung für den Polynombereich schon bei Macaulay (Math. Ann. 74) findet.