Über die Stäckelschen Lückenzahlen und den Goldbachschen Satz. (Q1461437)

Bezeichnet \(G_r(2n)\) die Anzahl der Darstellungen einer geraden Zahl \(2n\) als Summe zweier Lückenzahlen \(r\)-ter Stufe, so gelingt es dem Verf. durch Aufstellung einer \(G_r(2n)\) erzeugenden Funktion, die von Stäckel auf Grund von Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen aufgestellte asymptotische Gleichung \[ G_r(2n) \sim \frac{n}{P_r} g_r(2u_r) \] streng zu begründen. Hierin ist \[ P_r = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots p_r, \] und \(g_r(2u_r)\) das Gewicht \(r\)-ter Stufe einer geraden Lückenzahl \(2u_r\), das sich nach einer Formel von Stäckel leicht berechnen läßt. Die obige asymptotische Formel kann nun auch unter gewissen Bedingungen zur angenäherten Berechnung der Goldbachschen Zahlen \(G(2n)\) benutzt werden, wobei \(G(2n)\) angibt, wie oft sich \(2n\) als Summe zweier ungeraden Primzahlen darstellen läßt. Liegt nämlich \(2n\) zwischen den Quadraten der beiden aufeinanderfolgenden Primzahlen \(p_r\) und \(p_{r+1}\), so ist \[ G(2n) \sim \frac{n}{P_r} \, g_r(2n). \] Vermutlich gilt für den Goldbachschen Satz folgende schärfere Fassung: Jede gerade Zahl \(2n\), die größer als eine gewisse untere Grenze -- vermutlich \(p_{r-1}^2\), wenn nicht schon \(3p_r\) -- und kleiner als \(p_{r+1}^2\) ist, läßt sich stets als Summe von zwei ungeraden Primzahlen darstellen, die nicht den Primzahlen \(3, 5, \dots, p_r\), wo \(r > 2\) ist, angehören.