Note on certain modular relations considered by Messrs. Ramanujan, Darling and Rogers. (Q1461442)

Die drei Verfasser beschäftigen sich mit den folgenden, von Ramanujan ohne Beweis ausgesprochenen Sätzen: Es sei \(0 < r < 1\), \[ f (r) = r^{\tfrac 15}\prod_{\mu,\nu} \frac {1 - r^\mu}{1 - r^\nu}, \quad f_1 (r) = f(r^2), \] wo \(\mu\) und \(\nu\) sämtliche positiven ganzen Zahlen der Form \(5n \pm 1\), bzw. \(5n \pm 2\) durchlaufen. Dann ist (\(f(r) = f, \;f_1 (r) = f_1\) gesetzt) \[ f^2 - f_1 + f f_1^2 (f^2 +f_1) = 0, \tag{1} \] \[ f^{-5} - f^5 - 11 = r^{-1} \prod_{n=1}^\infty \left( \frac {1-r^n}{1 - r^{5n}}\right)^6, \tag{2} \] \[ f^{-1} - f - 1 = r^{- \tfrac 15} \prod_{n=1}^\infty \frac {1-r^{\tfrac n5}}{1 - r^{5n}}, \tag{3} \] \[ \frac {f^\prime (r)}{f(r)} = \frac 1{5r} \prod_{n=1}^\infty \frac {(1-r^{n})^5}{1 - r^{5n}}; \tag{4} \] setzt man ferner \[ \prod_{n=1}^\infty (1 - r^n)^{24} = \sum_{n=1}^\infty T(n) r^{n-1} \] und \[ \prod_{n=1}^\infty (1 - r^n)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty p_n r^{n}, \] dann ist \[ \sum_{n=0}^\infty T(5n + 5) r^n = 4830 \prod_{n=1}^\infty (1- r^n)^{24} - 5^{11} r^4 \prod_{n=1}^\infty (1- r^{5n})^{24}, \tag{5} \] \[ \sum_{n=0}^\infty p_{5n + 4} r^n = 5 \prod_{n=1}^\infty \frac {(1-r^{5n})^5}{(1-r^{n})^6}, \tag{6} \] \[ \sum_{n=0}^\infty p_{7n + 5} r^n = 7 \prod_{n=1}^\infty \frac {(1-r^{7n})^3}{(1-r^{n})^4} + 49 r \prod_{n=1}^\infty \frac {(1-r^{7n})^7}{(1-r^{n})^8}. \tag{7} \] Darling gibt direkte Beweise für (1) -- (6), Rogers für (1) und (2); letzterer verallgemeinert ferner (1), indem er analoge Beziehungen zwischen \(f (r)\) und \(f (r^3)\), \(f(r)\) und \(f(r^5)\) usw. aufstellt. Mordell zeigt schließlich, daß sämtliche Identitäten (1) -- (7) einfache Folgerungen von wohlbekannten allgemeinen Sätzen über Modulfunktionen sind. (Vgl. das vorige Ref. )