Bestimmung der Klassenzahl einer neuen Reihe von algebraischen Zahlkörpern. (Q1461486)

Den bisher bekannten Klassenzahlformeln, welche sich nur auf absolut-Abelsche Zahlkörper und auf die Körper der komplexen Multiplikation beziehen, wird hier eine neue Reihe hinzugefügt: Wenn der Körper \(K\) aus einem reellen quadratischen Körper \(k\) durch Adjunktion der Quadratwurzel einer total negativen Zahl \(\delta\) aus \(k\) entsteht, so erlauben die neueren Methoden aus der Theorie der Zetafunktion, die Klassenzahl von \(K(k, \sqrt\delta)\) explizit anzugeben, derart, daß der Quotient der beiden Klassenzahlen von \(K\) und \(k\) durch eine endliche Summe dargestellt erscheint, vom Typus der Dirichletschen Formel für die Klassenzahl imaginär quadratischer Körper. Der Verlauf der Rechnung ergibt, daß die wichtigsten Glieder dieses Ausdruckes mit der Theorie der elliptischen Modulfunktionen zusammenhängen, nämlich mit der Frage, wie sich der Logarithmus einer gewissen Thetafunktion bei einer Modulsubstitution verhält. Als Beispiel diene: Im Körper \(k = k (\sqrt3)\) sei \(\delta\) eine total negative, quadratfreie Zahl ohne rationalen Teiler, dann ist die Klassenzahl von \(K(\sqrt\delta)\) \[ H=\sum_{n=0}^{D-1} \left(\frac Dn\right) \left\{2\frac{n^2}{D^2} \frac nDR\left(\frac{nr}D\right)\right\}, \] wobei \(D = N(\delta)\); \(\left(\dfrac Dn\right)\) das Jacobische Symbol im rationalen Körper; \(R(x)\) der kleinste positive Rest von \(x\) mod.\ 1; \(r\) eine solche ganze rationale Zahl, welche der Grundeinheit \(2 +\sqrt3\) nach dem Modul \(\delta\) kongruent ist.