Analytische Funktionen und algebraische Zahlen. I. Teil. (Q1461487)

Für die funktionentheoretische Untersuchung eines algebraischen Zahlkörpers \(n\)-ten Grades bedarf man der Hilfe von analytischen Funktionen in \(n\) Veränderlichen. Diese sind in der Form von arithmetischen Invarianten des betreffenden Zahlkörpers gebildet, indem in irgendeiner Funktion von \(n\) Variabeln \(x^{(1)}\), \(\ldots\), \(x^{(n)}\) diese um beliebige konjugierte ganze Zahlen des Körpers vermehrt und alle so entstehenden Ausdrücke addiert werden. Falls die so entstehende unendliche Reihe absolut konvergiert, so liefert sie eine Funktion \(f(x_1,\ldots, x_n)\) von \(n\) Variabeln, welche sich nicht ändert, wenn ihre Argumente um beliebige konjugierte ganze Zahlen des Körpers vermehrt werden. Wegen dieser Periodizitätseigenschaft läßt sich die Funktion in eine Fouriersche Reihe entwickeln. Insbesondere werden Funktionen nach Art der Poincaréschen Reihen betrachtet; u. a. wird eine Formel gewonnen, welche eine Verallgemeinerung der Partialbruchzerlegung des Kotangens bildet. Ist speziell die Funktion \(f(x^{(1)},\ldots,x^{(n)})\) nur von dem Produkt \(x^{(1)}\ldots x^{(n)}\) abhängig, so ändert sie sich auch nicht, wenn \(x^{(1)}\), \(\ldots\), \(x^{(n)}\) durch \(\varepsilon^{(1)}x^{(1)},\ldots, \varepsilon^{(n)}x^{(n)}\) ersetzt werden, wo \(\varepsilon^{(1)}\), \(\ldots\), \(\varepsilon^{(n)}\) die Konjugierten einer Einheit von der Norm \(+ 1\) bedeuten. Unter Benutzung dieser multiplikativen Periodizität erhält man eine andere Art von Fourierscher Entwicklung; die dabei auftretenden Fourierschen Koeffizienten enthalten die von dem Verf. früher untersuchten Zetafunktionen mit Größencharakteren. Mit Hilfe dieser Entwicklung gelingt es, die Existenz einer natürlichen Grenze für einen gewissen Typus von Funktionen nachzuweisen sowie das Verhalten derselben bei Annäherung an das singulare Gebilde genau zu untersuchen. -- Der Verf. kündigt weitere Abhandlungen an, in denen er Anwendungen seiner Resultate zu geben gedenkt. (IV 4.)