Über einen Dirichletschen Satz. (Q1461497)

Es handelt sich in dieser Arbeit um den Zusammenhang der Klassenzahl \(H\) von \(K (\sqrt{m_1}, \sqrt{m_2},\ldots, \sqrt{m_t})\), wo \(\sqrt{m_1}\), \(\ldots\), \(\sqrt{m_t}\) unabhängige Quadratwurzeln bedeuten, mit den Klassenzahlen der \(2^t - 1\) quadratischen Unterkörper von \(K\). Im Falle \(t = 2\), \(m_1 = - m_2\), hat Dirichlet auf transzendentem und Hilbert auf arithmetischem Wege gezeigt, das \(H\) gleich dem Produkt jener Klassenzahlen oder gleich der Hälfte derselben ist. Verf. zeigt zunächst, wie man aus der Theorie des Galoisschen Körpers die Zetafunktion eines Abelschen Körpers mit den Zeta- und \(L\)-Funktionen seiner Unterkörper in Verbindung bringen kann, und wie sich dadurch nach einer von Hecke eingeführten Schlußweise auch die Diskriminante bestimmen läßt. Sodann wird aus dem Residuum der Zetafunktion von \(K\) die Zahl \(H\) berechnet und gezeigt, daß \(H\) gleich dem Produkt der Klassenzahlen aller \(2^t - 1\) quadratischen Unterkörper von \(K\) ist - abgesehen von einer Potenz von 2, deren Bedeutung auch ermittelt wird.