Über das quadratische Reziprozitätsgesetz in imaginären quadratischen Zahlkörpern. (Q1461498)

Verf. führt in der gewohnten höchst eleganten Art einen Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes in imaginär quadratischen Zahlkörpern mit Hilfe der komplexen Multiplikation vor. Für die Funktion \(f (u) = \dfrac{\wp'(u)}{\root 4\of\varDelta}\) (\(\varDelta = \varDelta (\omega_1, \omega_2)\) ist die Diskriminante aus der Theorie der elliptischen Funktionen) wird gezeigt, daß \(f (\nu u) = C_\nu \prod\limits_h f\left(u + \dfrac{\nu_h}\nu\right)\), wenn die Perioden von \(\wp (u)\) die ganzen Zahlen eines quadratischen Zahlkörpers sind, \(\nu\) eine beliebige ganze Zahl desselben ist und das Produkt über ein volles Restsystem \(\nu_h\;\text{mod.}\;\nu\) zu erstrecken ist. \(C_\nu\) ist dabei eine Konstante. Durch Anwendung des Gaußschen Lemmas folgt hieraus, so wie Eisenstein im rationalen Fall bei der Funktion sinus schließt, das Reziprozitätsgesetz.