Über die Normenreste und Nichtreste in den allgemeinsten relativ-Abelschen Zahlkörpern. (Q1461506)

Es sei \(l\) eine nat. Primzahl, \(K\) ein algebraischer Zahlkörper, der die primitive \(l\)-te Einheitswurzel \(\zeta\) enthält, \(A\) eine Zahl aus \(K\), die nicht \(l\)-te Potenz einer Zahl aus \(K\) ist, und \(K(x)\) der durch die reine Gleichung \(x^l - A = 0\) definierte relativzyklische Körper vom Primzahlgrade \(l\) über \(K\). Die ``\(\pi \)-adischen Methoden'' des Verf. gestatten eine erheblich einfachere Formulierung der Begriffe Normenrest und Nichtrest, als in der Hilbertschen Theorie (Zahlbericht, \(\S\) 129; Furtwängler, Math. Ann. 58, 1, 1904). Während dort folgende Definition eingeführt wird: \noindent Eine ganze Zahl \(B\) von \(K\) heißt dann und nur dann Normenrest \leftskip=2em von \(K(x)\) nach dem Primteiler \(\mathfrak p\) von \(K\), wenn \(B\) für jede noch so hohe Potenz von \(\mathfrak p\) als Modul jedesmal der Relativnorm einer ganzen Zahl aus \(K(x)\) kongruent ist, \noindent\leftskip=0em läßt sich in der Theorie des Verf. diese Definition so darstellen, daß sie auf eine \textit{Gleichheit} von \(B\) zu einer Relativnorm aus \(K(x, \mathfrak p)\) für den \textit{Bereich} von \(\mathfrak p\) herauskommt (ob \(B\) und \(A\) ganz, spielt dabei keine Rolle mehr): \noindent Eine Zahl \(B\) aus \(K(p)\) heißt dann und nur dann Normenrest \leftskip=2em (Normzahl) von \(K(x)=K(\overset{\,l\hfill}{\sqrt{A}})\) für den Bereich von \(\mathfrak p\), wenn \(B\) der Relativnorm einer Zahl aus dem Körper bzw. Ring \(K(x, \mathfrak p) = K(\overset{\;l\hfill}{\sqrt{a}},\mathfrak p)\) für den Bereich von \(\mathfrak p\) gleich ist. \noindent \leftskip=0em Dabei sind \(K(\mathfrak p)\) und \(K(x, \mathfrak p)\) die durch Einführung der \(\pi \)-adischen Zahlen aus \(K\) und \(K(x)\) entstehenden Bereiche (ersterer ein Körper, letzterer Körper oder Ring, je nachdem \(x^l - A\) in \(K(\mathfrak p)\) reduzibel oder irreduzibel). Infolge dieser methodischen Vereinfachung der Definition der Normenreste und Nichtreste, die schon an sich viel naturgemäßer als die Hilbertsche erscheint, wird auch die Entscheidung über den Normenrestcharakter mit den Methoden des Verf. erheblich einfacher. Auf Grund der Resultate der früheren Arbeiten des Verf. (hauptsächlich J. für Math. 146, 189, ferner das folgende Ref.) ergibt sich für zu \(l\) primes \(\mathfrak p\) vom Grade \(f\), wenn noch \(l^n\) die höchste in \(p^f-1\) enthaltende Potenz von \(l\) bezeichnet (\(n\geqq 1\)), folgendes : Stellt man (siehe das folgende Ref.) \(A\) und \(B\) multiplikativ (eindeutig) in der Form \[ \left.\begin{matrix} A=\pi ^a\omega^b\alpha^l\quad(\mathfrak p)\\ B=\pi ^c\omega^d\beta^l\quad(\mathfrak p)\end{matrix}\right\} 0\leqq a, b, c, d\leqq l-1 \] dar (\(\pi \) Primzahl aus \(K(\mathfrak p)\), \(\omega\) primitive (\(p^f- 1\))-te Einheitswurzel aus \(K(\mathfrak p)\), so ist \(B\) dann und nur dann Normenrest nach \(\mathfrak p\) von \(K(\overset{\,l\hfill}{\sqrt A})\), wenn \[ \begin{aligned} &ad-bc=0\;\text{mod.}\;l\;\text{im Falle}\;l\neq 2,\\ &\,ad-bc+2^{n-1}ac\equiv0\;\text{mod. 2 im Falle}\;l=2\end{aligned} \] ist. Bei Einführung des auch die Normennichtreste noch in \(l - 1\) Klassen unterscheidenden Normenrestcharakters \[ \biggl(\frac{B,A}{\mathfrak p}\biggr)=\zeta^{ad-bc},\; \text{bzw.}\;(-1)^{ad-bc+2^{n-1}ac}, \] der (bei richtiger Normierung von \(\omega\) bezüglich \(\zeta\), nämlich so, daß \(\omega^{\tfrac{pf-1}{l}}=\zeta(\mathfrak p)\) ist) mit dem Hilbertschen Normenrestsymbol übereinstimmt, folgt daraus sofort die Gültigkeit der beiden Haupttatsachen in der Normenresttheorie: \[ \begin{aligned} &\;\,\biggl(\frac{B,A}{\mathfrak p}\biggr)\,\biggl(\frac{A,B}{\mathfrak p}\biggr)=1 \qquad\text{(Vertauschungssatz)},\\ &\left.\begin{matrix} \biggl(\dfrac{B_1,A}{\mathfrak p}\biggr)\, \biggl(\dfrac{B_2,A}{\mathfrak p}\biggr)= \biggl(\dfrac{B_1B_2,A}{\mathfrak p}\biggr)\\\vspace{2pt} \biggl(\dfrac{B,A_1}{\mathfrak p}\biggr)\, \biggl(\dfrac{B,A_2}{\mathfrak p}\biggr)= \biggl(\dfrac{B,A_1A_2}{\mathfrak p}\biggr)\end{matrix} \right\}\quad\text{(Zerlegungssatz)}.\end{aligned} \] Der Fall, daß \(\mathfrak p\) ein Primteiler von \(l\) ist, wird in einer späteren Arbeit (Math. Ann. 90, 262, 1923) behandelt.