Beweis des kubischen Reziprozitätsgesetzes mit Hilfe der elliptischen Funktionen. (Q1461517)

Eisensteins Anregung (1847), das kubische Reziprozitätsgesetz mit Hilfe der Umkehrung des Integrals \(\displaystyle\int\dfrac{dx} {\sqrt{1-x^3}}\) in der Art zu beweisen, wie Eisenstein selbst das quadratische mit Hilfe der Winkelfunktionen, das biquadratische mit Hilfe der lemniskatischen Funktionen beweist, ist hier durchgeführt. Doch wird von dem vorgezeichneten Wege insofern abgewichen, als vielmehr die Umkehrung des Integrals \(\dfrac{1}{\sqrt3}\displaystyle\int \dfrac{dx}{(1-x^3)^{\frac{3}{2}}}\) verwendet wird. (IV 6 D.)