Darstellung total positiver Zahlen durch Quadrate. (Q1461521)

Der von Hilbert ausgesprochene Satz: ``Jede total positive Zahl eines algebraischen Zahlkörpers läßt sich als Summe von vier Quadratzahlen desselben Körpers darstellen'', über den bisher nur in speziellen Fällen etwas bekannt war, wird hier zum ersten Male vollständig bewiesen. Der Beweis verläuft rein arithmetisch als ein Kapitel aus der Theorie der quadratischen Formen mit algebraischen Koeffizienten und basiert auf dem allgemeinen quadratischen Reziprozitätsgesetz, den damit zusammenhängenden Sätzen über Nonnenreste und der Darstellung der Null durch ternäre quadratische Formen, sowie dem Satz über die Existenz unendlich vieler Primideale in Klassen mod \(\mathfrak a\). Die Frage nach der Ganzzahligkeit der darstellenden Quadrate bleibt durch diese Methode ungelöst. Verf. zeigt aber elementar, daß beschränkte Nenner im Fall eines total reellen Körpers bei der Zerlegung einer ganzen Zahl in endlich viele (statt vier) Quadrate gefordert werden können. In \(\S\) 4 werden interessante Anwendungen auf Polynome gemacht, welche für alle positiven Argumente positiv sind.