Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem. (Q1461524)

In den fast 20 Jahren seit \textit{G. Voronoï}\,s [J. Reine Angew. Math. 126, 241--282 (1903; JFM 34.0231.03, Zbl 02656343)] Beweis von \[ R(x) = \sum_{n\leqq x}\left[\frac xn\right] - x\log x - (2C - 1)x = O(\root 3 \of x \log x) \] war dies Resultat auf viele verschiedene Arten bewiesen, aber nicht verschärft worden. Für die untere Grenze \(\alpha\) der \(\vartheta\) mit \(R(x) = O(x^{\vartheta})\) war nur noch \(\alpha\geqq\frac14\) durch \textit{G. H. Hardy} [Proc. Lond. Math. Soc. (2), 15, 1--25 (1915; JFM 45.0305.02, Zbl 02615918) und Q. J. Math. 32, 66--140 (1900; JFM 31.0312.01, Zbl 02665429), Q. J. Math. 46, 261--262 (1915; JFM 45.1288.03, Zbl 02619410)] und \textit{E. Landau} [Gött. Nachr. 1920, 13--32 (1920; JFM 46.0258.02, Zbl 02606018)] bewiesen. \(\alpha\) hätte aber bisher \(\frac13\) sein können. Jetzt nicht mehr; denn Verf. beweist \(\alpha<\dfrac{33}{100}\). Er setzt hiermit an einem Spezialfall eine inzwischen auch bei sehr allgemeinen Gitterproblemen in seiner Hand erfolgreiche Methode zur Verschärfung der besten bisher vorhandenen Abschätzungen auseinander.