Neue Anwendung der Pfeifferschen Methode bei Dirichlets Teilerproblem. (Q1461528)

Landau hatte (F. d. M. 47, 158 (JFM 47.0158.*), 1919-20) die Hardysche Identität \[ A(x) - \frac{U(x)}2 = \pi x + \sqrt{x}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{U(n)}{\sqrt{n}}J_1(2\pi\sqrt{nx}) \] beim Kreisproblem (\(U(n) =\sum\limits_{a^2+b^2=n} 1\), \(x>0\), \(A(x) = \sum\limits_{0\leqq n\leqq x} U(n)\)) mit der Pfeifferschen Methode bewiesen. Verf. beweist analog -- wozu aber größere Schwierigkeiten zu überwinden waren -- dio Voronoïsche Identität beim Teilerproblem (\(T(n) = \sum\limits_{d/n}1\), \(x>0\), \(\tau(x)= \sum\limits_{1\leqq n\leqq x} T(n)\)) \[ \begin{gathered} \tau(x)-\dfrac{T(x)}{2}=x\log x+(2C-1)x+\dfrac14+\sqrt x+\\ \vspace{1.5ex} \sqrt x\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{T(n)}{\sqrt n} (Y_1(4x\sqrt{nx})-H_1(4x\sqrt{nx})), \end{gathered} \tag{1} \] wo \(Y_1(x)\) die übliche zweite Lösung der Besselschen Differentialgleichung, \(H_1(x)\) die Zylinderfunktion \(\dfrac2{\pi}\int\limits_1^{\infty}\dfrac{te^{-xt}}{\sqrt{t^2-1}}dt\) ist. Übrigens erhält er statt (1) durch die Pfeiffersche Methode diese Identität mit \(\dfrac2{\pi}\int\limits_1^{\infty}\cos(2\pi\sqrt{nx}u) \sin\dfrac{2\pi\sqrt{nx}}udu\) statt der Klammer in der Summe. Die Überführung in (1) macht einige Mühe. Den bekannten Satz, daß \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\) in einem abgeschlossenen, von ganzzahligen \(x\) freien Intervall gleichmäßig konvergiert, verschärft Verf. dahin, daß dort das Restglied \(\sum\limits_{n=\nu+1}^{\infty}\) gleichmäßig \(O\left(\dfrac{\log\nu}{\nu^{\frac14}}\right)\) ist.