Über zwei Sätze von G. H. Hardy. (Q1461530)

Es mögen \(\varDelta(x)\) und \(P(x)\) die in dem Referat über \textit{G. H. Hardy} [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 15, 192--213 (1916; JFM 46.0262.01)] erklärte Bedeutung haben. Verf. beweist, daß in dem loc. cit. genannten Resultat das \(+\varepsilon\) gestrichen werden kann. Ferner verschärft er die Hardyschen Resultate \[ \int_1^x\varDelta^2(\tau)\,d\tau = O(x^{\frac32+\varepsilon}), \qquad \int_1^x P^2(\tau)\, d\tau = O(x^{\frac32+\varepsilon}), \] zu \[ \int_1^x\varDelta^2(\tau)\,d\tau = \alpha x^{\frac32}+ O(x^{\frac54+\varepsilon}), \qquad \int_1^x P^2(\tau)\,d\tau = \beta x^{\frac 32}+ O(x^{\frac54+\varepsilon}), \] wo \(\alpha\) und \(\beta\) bestimmte positive Konstanten sind.