Über analytische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod. eins. (Q1461531)

Verf. stellt sich die Aufgabe, die Verteilung der Bruchbestandteile der Zahlen von der Form \(m\alpha\), \(m=1, 2, 3,\ldots, \alpha\) positiv irrational, näher zu untersuchen. Er führt diese Untersuchung besonders eingehend für quadratische Irrationalitäten durch. Sie stützt sich auf die Benutzung der Dirichletschen Reihe \[ \varphi(s)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{R(m\alpha)-\frac12}{m^s}, \tag{1} \] wobei \(R(x)\) den Bruchbestandteil von \(x\) bezeichnet. Unter der Voraussetzung, daß \(\alpha=\sqrt D\), \(D\) quadratfrei, ganz und rational, \(D\equiv 2\) oder 3 (mod. 4) ist, wird die überraschende Tatsache bewiesen, daß \(\varphi(s)\) eine meromorphe Funktion definiert, die nur in der negativen Halbebene, und zwar nur an den Stellen \[ -2k\pm\frac{2\pi in}{\log\eta}\qquad (n, k = 0, 1, 2,\ldots) \] einfache Pole besitzen kann. Hierbei ist \(\eta\) die Grundeinheit des quadratischen Körpers \(k(\sqrt D)\). Von den erwähnten Polen können auch einige wegfallen. Dieser Satz wird durch Heranziehung der Heckeschen Zetafunktion bewiesen. Ferner wird das Wachstum von \(\varphi(s)\) für große Werte von \(\mathfrak F_s\) in einem vertikalen Streifen untersucht. Als Anwendung ergibt sich für die Koeffizienten die Abschätzung \[ S(x)=\sum_{0<m\leqq x} (R(m\alpha)-\tfrac12)=O(x^{\delta}), \tag{2} \] für beliebiges \(\delta>0\). Hieraus wild für die Anzahl der Zahlen \(m\) mit \(R(m\alpha ) <\varrho\), \(0 < m \leqq x\) die asymptotische Formel \[ \varrho x+O(x^{\delta}) \tag{3} \] geschlossen, die sogar gleichmäßig gilt für \(0\leqq\varrho\leqq 1\). Von den weiteren Folgerungen sei eine asymptotische Entwicklung erwähnt für \[ \sum_{0<m\leqq x} (R(m\alpha)-\tfrac12)\left(\log\frac xm\right)^2 \] (Rieszsche Mittel zweiter Ordnung vom Typus \(\log m\)). Sie lautet \[ A_3\log^3x + A_2\log^2x + A_1\log x+ \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_nx^{\frac{2\pi in}{\log\eta}} + O\left(\frac1{x^{1-\delta}}\right). \] Hier sind \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(C_n\) von \(x\) unabhängig, \(C_n\) von der Größenordnung \(n^{-2+\delta}\), \(\delta>0\). Der (nur angedeutete) Beweis stützt sich auf die Heranziehung des Integrals \[ \int\limits_{a-i\infty}^{a+i\infty}\frac{x^s}{s^3}\varphi(s)ds\qquad (a>-1). \] Schließlich wird die Formel (3) für eine allgemeinere Klasse von Irrationalitäten \(\alpha\), die u. a. die algebraischen Zahlen eines festen Grades umfaßt, übertragen: Wenn zu \(\alpha\) zwei positive Konstanten \(C\) und \(r\) existieren, so daß für alle ganzen Zahlen \(p\) und \(q\) \[ |q\alpha-p|>\frac{C}{q^r} \] gilt, dann ist die Anzahl der Zahlen \(m\) mit \(R(m\alpha)\leqq\varrho\), \(0 < m\leqq x\) gleich \[ \varrho x+O\left(x^{1-\frac1r+\delta}\right), \tag{4} \] \(\delta> 0\), und zwar gleichmäßig für \(\varrho > 0\). (II 9.)