Irrationalzahlen (Q1461544)

Aus dem Vorwort: ``Das Buch, das ich hiermit der Öffentlichkeit übergebe, wendet sich in erster Linie an die Studierenden; doch dürfte es auch für den Kenner des Interesses nicht völlig entbehren. \dots\ Ich habe die Theorie von Dedekind zugrunde gelegt. Um dann die Rechenoperationen zu definieren und die Rechengesetze zu beweisen, gibt es zwei Wege. Der erste, kurz und elegant, ist von R. Baire angebahnt und sodann von \textit{G. Kowalewski} in seinen ``Grundzügen der Differential- und Integralrechnung'' (Leipzig 1909) meisterhaft vollendet worden. Er besteht darin, daß zunächst nur die Gesetze über die Größenordnung aufgestellt werden; mit ihrer Hilfe allein gelingt die Einführung des Grenzbegriffes, der dann die Definitionen und Gesetze für Addition, Subtraktion usw. unschwer zu erledigen gestattet. Länger und kunstloser ist der zweite Weg, aber dafür viel naturgemäßer und dem unbefangenen Neuling eigentlich von selbst sich aufdrängend, so daß ich es für richtig hielt, meine Leser diesen Weg zu führen. Er besteht einfach darin, daß nach Einführung der Dedekindschen Schnitte nicht nur die Begriffe des Größer und Kleiner, sondern zugleich auch der Summe, Differenz usw. definiert und auf Grund dieser Definitionen die Rechengesetze entwickelt werden (Kap. I). So erscheinen die Rechengesetze, wie es natürlich ist, als das Primäre; der Grenzbegriff als etwas Fernerliegendes kommt erst im zweiten Kapitel. Das dritte Kapitel ist der Theorie der Potenzen und Logarithmen gewidmet, während im vierten die verschiedenen Darstellungsformen irrationaler Zahlen in einer bisher nicht gebotenen Vollständigkeit entwickelt werden. Das fünfte Kapitel behandelt die sogen, diophantischen Approximationen, wobei ich in der zweiten Hälfte insbesondere das Ziel verfolgte, einen fundamentalen Satz von Kronecker \dots\ in gleicher Allgemeinheit wie Kronecker zu entwickeln. \dots'' Dem Verf. gelingt es, den Umfang der ursprünglichen, übrigens schwer lesbaren Kroneckerschen Darstellung auf weniger als ein Drittel herabzudrücken. ``Das letzte Kapitel endlich handelt von den Eigenschaften der algebraischen und transzendenten Zahlen. Daß hier die Transzendenzbeweise für die Zahlen \(e\) und \(\pi\) nicht fehlen dürfen, ist selbstverständlich.'' ``Die wichtigste Literatur, die bis auf die jüngsten Tage reicht (Ende 1920), ist am Schluß des Buches zusammengestellt.'' \textit{Inhaltsübersicht.} I. Kap. Die Grundlagen (S. 1--32). II. Kap. Der Begriff der Grenze (S. 32--60). Untere und obere Grenze einer Zahlenmenge, oberer und unterer Limes einer Folge, Grenzwert einer Folge, konvergente Folge, unendliche Reihen und Produkte, Historisches. III. Kap. Potenzen und Logarithmen (S. 60--90). IV. Kap. Verschiedene Darstellungsformen irrationaler Zahlen (S. 90--127). Systematische Brüche, Kettenbrüche, die Cantorschen Reihen, die Reihen von Lüroth und Engel, die Cantorschen Produkte. V. Kap. Approximation irrationaler Zahlen durch rationale (S. 128--157). VI. Kap. Algebraische und transzendente Zahlen (S. 158--182). Nichtabzählbarkeit des Kontinuums. Liouvillesche Zahlen. Transzendenz der Zahlen \(e\) und \(\pi\). Literatur (S. 183--185).