Über die Approximation irrationaler Zahlen durch rationale. I, II. (Q1461548)

Hier wird, unabhängig von der vorstehend besprochenen Arbeit Heawoods, im wesentlichen das gleiche Problem behandelt und folgendermaßen formuliert. Ist \(\xi\) eine Irrationalzahl, \(\dfrac{A_{nu}}{B_{\nu}}\) ihr Näherungsbruch \(\nu\)-ter Ordnung und \[ \left|\xi- \frac{A_{nu}}{B_{\nu}}\right|=\frac1{\varrho_{\nu}B^2_{\nu}}, \] so ist \(\limsup_{\nu\to\infty}\varrho_{\nu}=M(\xi)\) eine Funktion von \(\xi\); sie soll untersucht werden. In Übereinstimmung mit Heawood ergibt sich, daß die Gleichung \(M(\xi)=3\) für eine Menge von Zahlen \(\xi\) erfüllt ist, die die Mächtigkeit des Kontinuums hat, während die Ungleichung \(M(\xi)<3\) nur für gewisse (übrigens genau angebbare) quadratische Irrationalzahlen \(\xi\) besteht; und zwar nimmt die Funktion \(M(\xi)\) unterhalb 3 nur abzählbar viele Werte mit der einzigen Häufungsstelle 3 an. Die elf kleinsten werden angegeben. Weiterhin wird gezeigt: Die Gleichung \(M(\xi) =\sqrt{12}\) besteht für eine Menge von Zahlen \(\xi\), die die Mächtigkeit des Kontinuums hat; ebenso die Gleichung \(M(\xi)=\dfrac{\sqrt{243}+65}{22}\). Dagegen nimmt \(M(\xi)\) zwischen \(\sqrt{12}\) und \(\dfrac{\sqrt{243}+65}{22}\) nur noch den einen Wert \(\sqrt{13}\) an, und zwar bloß für die mit \(\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}\) äquivalenten Zahlen \(\xi\).