Anwendung der Geometrie der Zahlen auf die bilinearen Formen. (Q1461557)

Es sei: \[ f(x,y) = ax^2 + bxy+cy^2 \] eine indefinite quadratische Form mit reellen Koeffizienten, und: \[ \varphi(a, b, c) = 2axx' + b(xy' + x'y) + 2cyy' \] die zugehörige Polarform. Der Verf. bestimmt die extremen Formen, d. h. die Formen, für die das Minimum der absoluten Beträge von \(\varphi\) ein Maximum wird. Er wendet dabei die Methode von Minkowski an. Diese gibt ihm als mögliche Formen: \[ \varphi(1,1,-1),\quad \varphi(1,1,-3),\quad \varphi(1,1,-4),\quad \varphi\left(1,1,- \frac{21}5\right),\quad \varphi\left(1,1,-\frac{p_{2n+4}}{p_{2n-1}}\right), \] wo \((p_n)\) das System der Fibonacci'schen Zahlen ist. Auf diese Formen ist I. Schur rein zahlentheoretisch geführt worden. Um zu zeigen, daß die so gefundenen Formen wirklich extrem sind, versagen die geometrischen Hilfsmittel, und ist man auf die Schur'schen arithmetischen Mittel angewiesen. (II 7.)