Axiomatische Begründung der transfiniten Kardinalzahlen. I. (Herrn K. Hensel zum sechzigsten Geburtstag.) (Q1461566)

Die Kardinalzahlen (Mächtigkeiten) der Mengenlehre, die eine axiomatische Behandlung bisher nicht gefunden haben, lassen sich aus bekannten Gründen weder in der Cantorschen Mengenlehre, noch innerhalb emer Mengenaxiomatik einwandfrei definieren. Das vorliegende Axiomensystem führt die Kardinalzahlen unabhängig von der allgemeinen Mengenlehre ein und stützt den Mengenbegriff, soweit er erforderlich ist, auf Definition. Die Undefinierten Grundbegriffe sind: Kardinalzahl, Summe, Produkt (von Kardinalzahlen). In den benutzten 10 Axiomen, die sich in eingehender Untersuchung als voneinander unabhängig erweisen, wird u. a. das assoziative und das kommutative Gesetz der \textit{Addition}, sowie ein allgemeines distributives Gesetz und die Existenz eines Einheitselementes postuliert, während die Existenz der Null und die übrigen formalen Gesetze bewiesen werden. Nach Definition der Größenordnung und Nachweis der Kardinalzahl \(\aleph_0\) zeigt eine eingehende Betrachtung (in der auch die Möglichkeit ``unendlichkleiner'' Zahlen beleuchtet wird), daß das Einheitselement nächst der Null die kleinste Kardinalzahl sein muß. Den Schluß bildet der Nachweis, daß jede Kardinalzahl als ``Vielfaches''des Einheitselementes darstellbar, und daß der Gesamtbereich in gewissem Sinne eindeutig festgelegt ist. (II 1.)