Les exemples effectifs et l'axiome du choix. (Q1461576)

Verf. unterscheidet zwischen ``bloßen Existenzbeweisen'', die nicht zur Angabe eines einzelnen Beispiels führen, und ``effektiven Beispielen''; und er weist darauf hin, daß in allen Fällen, wo uns die Angabe effektiver Beispiele nicht möglich ist, die Existenz der betrachteten Objekte mit Hilfe des Auswahlaxioms bewiesen ist. Aber daraus folgt noch nicht, daß wir, wenn wir uns auf das Auswahlaxiom stützen, niemals effektive Beispiele erhalten können. Vielmehr kann es sein, daß ein effektives Beispiel B definiert werden kann (sogar ohne Auswahlaxiom), daß aber der Beweis dafür, daß \(B\) die gewünschte Eigenschaft besitzt, das Auswahlaxiom benutzt. Dies ist der Fall bei dem Lebesgueschen Beispiel einer nicht-Baireschen Funktion (Journ. de math. (6) 1, 205,1905; vgl. Sierpiński, Krak. Bull. 1918, 136; F. d. M. 46, 297 (JFM 46.0297.*)). Hier wird nun ein anderes derartiges Beispiel gegeben: Wesentlich im Anschluß an Hartogs (Math. Ann. 76,438; F. d. M. 45, 125 (JFM 45.0125.*),1914-15) zeigt Verf. u. a., daß man eine wohlgeordnete Menge effektiv definieren kann, von der sich ohne Auswahlaxiom nur zeigen läßt, daß ihre Mächtigkeit \(\mathfrak m\) weder \(<\) noch \(> \mathfrak c\) ist. (Erst mit Benutzung des Auswahlaxioms oder des Vergleichbarkeitspostulats ergibt sich dann \(\mathfrak m = \mathfrak c\)).