Stetige Mengen. (Q1461582)

Diese punktmengentheoretische Untersuchung bezweckt, in möglichst allgemeinen Räumen, deren Struktur nur durch 5 Umgebungsaxiome (von denen 4 den Hausdorffschen entsprechen) bestimmt ist, eine Theorie der ``Linienstücke'' zu entwickeln. Es wird definiert, daß zwei Mengen ``in einem Punkt aneinandergrenzen'', wenn dieser der einen angehört und Häufungspunkt der andern ist. Dann wird eine Menge \(M\) ``zwischen zwei Punkten \(a\) und \(b\) stetig'' genannt, wenn sie \(a\) und \(b\) enthält, und je zwei Teilmengen, deren Summe \(M\) ist und von denen die eine \(a\), die andere \(b\) enthält, in mindestens einem Punkt aneinandergrenzen müssen. In Anlehnung an die Lennessche Definition des einfachen Bogens in der Euklidischen Ebene (N. J. Lennes, American J. 33, 287; F. d. M. 42, 399 (JFM 42.0399.*), 1911) definiert der Verf.: Eine Menge \(M\) ist ein ``Linienstück von \(a\) nach \(b\)'', wenn sie selbst, aber keiner ihrer echten Teile zwischen \(a\) und \(b\) stetig ist. Endlich heißt ein abgeschlossenes Linienstück ein ``einfacher Bogen''. Diese Absonderung der Abgeschlossenheit in der Definition erlaubt dem Verf. über Linienstücke in sehr allgemeinen Räumen Aussagen zu machen. Weiterhin werden ``lückenlose'' Bereiche zugrunde gelegt und vor allem die Beziehung des irreduziblen Cantorschen Kontinuums zum Linienstück untersucht.