Une méthode d'élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques. (Q1461585)

Schon früher hat man es oftmals mit Erfolg unternommen, Sätze über Punktmengen oder reelle Funktionen, die mit Hilfe von transfiniten Zahlen bewiesen worden waren, in deren Formulierung aber diese transfiniten Zahlen gar nicht auftreten, ohne deren Hilfe zu beweisen. Dabei hat man aber in jedem Fall eine besondere Methode verwendet, um die Benutzung transfiniter Zahlen zu umgehen. Verf. gibt nun zu diesem Zweck eine sehr allgemeine Methode an, die an die Idee der Dedekindschen ``Ketten'' anknüpft [vgl. insbesondere Zermelo (Math. Ann. 65, 107; F. d. M. 38, 96 (JFM 38.0096.*), 1907) und Hessenberg (J. für Math. 135, 81; F. d. M. 39, 96 (JFM 39.0096.*),1908)]. Die übliche Anwendung der transfiniten Zahlen wird durch folgendes Schema beschrieben: Ausgangsmenge \(A\); 1. Erzeugungsprinzip: \(X\) wird in bestimmter Weise durch eine Teilmenge \(G(X)\) ersetzt; 2. Erzeugungsprinzip: Durchschnittbildung einer Folge von schon konstruierten Mengen. An Stelle der Gesamtheit der so nacheinander erzeugten Mengen bildet der Verf. nun die kleinste Klasse \({\mathfrak M}(A)\) von Mengen, die \(A\) enthalten und die mit \(X\) zugleich auch \(G(X)\), und mit einer Gesamtheit von Mengen immer auch deren Durchschnitt enthält. Alles sinngemäß entsprechend, wenn man statt einer absteigenden, eine aufsteigende Mengengesamtheit hat. \({\mathfrak M}(A)\) ist, wie gezeigt wird, eine wohlgeordnete Gesamtheit ineinandergeschachtelter Mengen. Verf. gibt sodann zahlreiche Anwendungen dieser Methode; wir heben als bemerkenswert hervor die Anwendung auf: Mengen, die bezüglich einer gegebenen Eigenschaft irreduzibel oder gesättigt sind; Mengen \((A)\); Darstellung einer Baireschen Funktion erster Klasse durch eine Folge stetiger Funktionen. (IV 3 C.)