Sur une propriété des ensembles clairsemés. (Q1461588)

In einer Fußnote seiner Arbeit Fundamenta math. 3, 41, 1922 (Ref. vgl. S. 213) hat Kuratowski gezeigt, daß jede wohlgeordnete auf- oder absteigende Gesamtheit von ineinandergeschachtelten separierten Mengen abzählbar ist (separiert \(=\) ohne in sich dichten Bestandteil). Dies wird von Zalcwasser so verallgemeinert: Jede wohlgeordnete auf- oder absteigende Gesamtheit von ineinandergeschachtelten Mengen, die zugleich äußere und innere Grenzmengen sind, ist abzählbar. -- Sierpiński gibt eine andersartige Verallgemeinerung des Satzes von Kuratowski: Die Vereinigungsmenge von beliebig vielen separierten Mengen \(M\), von denen paarweise eine in der anderen enthalten ist, ist abzählbar. Dabei ist aber hervorzuheben -- was einfachste Beispiele zeigen --, daß trotzdem eine (nicht wohlgeordnete) Menge von solchen Mengen \(M\) (die alle voneinander verschieden sind) die Mächtigkeit c besitzen kann.