Sur les ensembles connexes et non connexes. (Q1461593)

Verf. bezeichnet eine Menge als ``dispersé'' \(=\) ``ohne lückenlosen Zusammenhang'', wenn sie keine lückenlos zusammenhängende (\(=\) im Hausdorffschen Sinn zusammenhängende \(=\) ``connexe'') Teilmenge enthält -- also keine Komponente enthält, die aus mehr als einem Punkt besteht. Ferner nennt er zwei Punkte \(a\) und \(b\) einer Menge \(M\) ``in \(M\) getrennt (séparés)'', wenn eine Zerlegung von \(M\) in zwei ``getrennte'' (d. h. elementenfremde, relativ abgeschlossene) Teilmengen existiert, von denen die eine \(a\), die andere \(b\) enthält; -- also wenn \(a\) und \(b\) verschiedenen Quasikomponenten von \(M\) angehört. Er fragt nun, ob zwei Punkte einer Menge \(M\) ohne lückenlosen Zusammenhang notwendig in \(M\) getrennt sein müssen. Durch ein Beispiel einer ebenen Menge \(E_1\) wird gezeigt, daß dies nicht der Fall zu sein braucht. Zu diesem Zweck wird zuerst eine ebene Menge \(E\) konstruiert, deren sämtliche Punkte in \(E\) paarweise getrennt sind, und die trotzdem einen Punkt \(a\) von folgender Eigenschaft enthält: Es ist nicht möglich, \(E\) in zwei getrennte Teilmengen \(A\) und \(B\) zu zerlegen, so daß \(A\) den Punkt \(a\) enthält und der Durchmesser von \(A\) kleiner als 1 ist. Durch Hinzufügung eines bestimmten Häufungspunktes von A entsteht aus \(E\) die gewünschte Menge \(E_1\). Zugleich ist \(E_1\) ein Beispiel einer punkthaften inneren Grenzmenge, die mit keiner linearen Menge homöomorph ist (vgl. Mazurkiewicz, Fundamenta math. 1, 61, 1920). (\S \,1.) In \S \,2 wird sodann eine notwendige und hinreichende Bedingung gegeben dafür, daß eine punkthafte Menge \(P\) des \(\mathfrak R_m\) mit einer linearen Menge homöomorph sei: zu jedem Punkt \(a\) von \(P\) und jedem \(\varepsilon > 0\) muß eine Zerlegung von \(P\) in zwei getrennte Mengen \(A\), \(B\) existieren, derart, daß \(A\) \(a\) enthält und der Durchmesser von \(A\) kleiner als \(\varepsilon \) ist. In \S \,3 wird noch bewiesen, daß die Komplementärmenge einer punkthaften Menge des \(\mathfrak R_m\) (\(m > 1\)) stets lückenlos zusammenhängend ist, was für abgeschlossene, punkthafte Mengen schon Phragmén (Öfvers. Vet. Akad. Förhandl. 41, Nr. 1, 121; Acta Math. 7, 44; F. d. M. 16, 333 (JFM 16.0333.*), 1884; 17, 505, 1885) bewiesen hatte. (V 2.)