Théorie des continus irréductibles entre deux points. I. (Q1461599)

Diese Abhandlung bildet zusammen mit der unmittelbar vorhergehenden Arbeit (s. vorstehendes Ref.), an die sie sich vielfach anschließt, die Warschauer ``Thèse'' des Verf. Die Betrachtungen gelten zum Teil (\S \,1--4) in ebenso allgemeinen Räumen, wie die vorhergehende Arbeit. Ein Kontinuum \(C\) heißt bekanntlich zwischen zwei Punkten \(a\) und \(b\) irreduzibel, wenn \(C\), aber kein Teilkontinuum von \(C\), die beiden Punkte \(a\) und \(b\) enthält. \(C\) bezeichne immer ein zwischen \(a\) und \(b\) irreduzibles Kontinuum, \(K\) ein beliebiges Teilkontinuum von \(C\) (oder eventuell einen einzelnen Punkt von \(C\) oder die leere Menge). Zunächst werden (in der Bezeichnung der vorhergehenden Note) einige Hilfssätze über die Mengen \(K^{C-}\) und \(K^{C-C-}\) abgeleitet. Er bezeichnet nun mit \(\mathfrak R(a, C)\) diejenige Klasse, deren Elemente (außer der leeren Menge) alle (bezüglich \(C\)) ``regulären'' \(K\) sind, die a enthalten. (\(K\) ist ``regulär'', wenn \(K = K^{C-C-}\).) Es ergibt sich: \(\mathfrak R(a, C)\) ist eine wachsende Gesamtheit von ineinandergeschachtelten Mengen. Der (lineare) Ordnungstypus von \(\mathfrak R(a, C)\) sei mit \(\alpha \) bezeichnet. \(\mathfrak R(b, C)\) besitzt den inversen Ordnungstypus. Bezeichnet \(|\alpha |\) den absoluten Betrag von \(a\), d. h. abstrahiert man von der Richtung, so erweist sich \(|\alpha |\) als nicht mehr von \(a\), sondern nur von \(C\) abhängig, und zwar ist \(|\alpha |\) eine Invariante der Analysis situs. Damit \(|\alpha |\) der Ordnungstypus eines irreduziblen Kontinuums \(C\) sei, ist notwendig und hinreichend, daß \(\alpha \) die drei Bedingungen erfüllt: 1. es existiert ein erstes und ein letztes Element; 2. es sind keine ``Lücken'' vorhanden; 3. es existiert ein endlicher oder abzählbarer, in \(\alpha \) dichter Teil. Den (eventuell vorhandenen) ``Sprüngen'' in \(\alpha \) entsprechen eineindeutig ``unzerlegbare'' Teilkontinua von \(C\), die keine Häufungskontinua sind. -- Die bemerkenswerten Resultate des Verf. zeigen mannigfache Berührungspunkte mit der etwa gleichzeitigen Untersuchung von \textit{H. Hahn} [Sitzungsber. Wien 130, 217--250 (1921; JFM 48.0654.01)]. In drei Noten gibt der Verf. noch einige speziellere Anwendungen. In Note I und II verallgemeinert er einige Sätze, die von anderen Autoren für beschränkte irreduzible Kontinua bewiesen waren, auf nicht beschränkte. Eine solche Verallgemeinerung ist aber nicht möglich für den wichtigen Satz: Sind \(a\), \(b\) irgend zwei Punkte eines beschränkten Kontinuums \(\varGamma \), so existiert ein zwischen \(a\) und \(b\) irreduzibles Teilkontinuum von \(\varGamma \) (zuerst von \textit{S. Janiszewski} [C. R. 151, 198--201 (1911; JFM 41.0544.05)] bewiesen). Verf. gibt nämlich ein sehr einfaches Beispiel eines nicht beschränkten Kontinuums, das zwischen zwei bestimmten Punkten \(a\), \(b\) kein irreduzibles Teilkontinuum enthält. Note III knüpft an das Resultat von \textit{W. Sierpiński} [Tôhoku. Math. J. 13, 300--303 (1918; JFM 46.0299.03)] an, daß ein beschränktes Kontinuum nicht in abzählbar unendlich viele, elementenfremde Teilkontinua oder abgeschlossene Teilmengen zerlegt werden kann, während im dreidimensionalen Raum nicht beschränkte Kontinua mit derartiger Zerlegung existieren. Verf. zeigt: Für ein irreduzibles Kontinuum \(C\) (beschränkt oder nicht beschränkt) ist eine Zerlegung in abzählbar viele, elementenfremde Kontinua nicht möglich; wohl aber gibt er im dreidimensionalen Raum ein Beispiel eines (nicht-beschränkten, reduziblen) \(C\) mit derartiger Zerlegung in abgeschlossene Teilmengen. (V 2.)