A contribution to the axiomatization of well ordered sets. (Q1461613)

Bezeichnen wir mit \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) die üblichen drei Axiome, welche die geordnete Menge charakterisieren, so kann die Definition einer wohlgeordneten Menge \(Z\) dadurch erhalten werden, daß man die Existenz einer Beziehung \(R\) postuliert, für welche eines der folgenden Axiomensysteme gilt: \(A_1A_2A_3B\), \(A_1A_2A_3C\), \(A_1A_2A_3E\), \(A_1A_2A_3F.\) Dabei bedeuten \(B\), \(C\), \(E\), \(F\) die folgenden Axiome: Ist \(U\) eine beliebige Untermenge von \(Z\), welche keine Nullmenge ist, so enthält \(U\) ein Element \(a\), welches die Eigenschaft besitzt, daß: (B) kein Element von \(U\) ''früher'' als \(a\) in bezug auf \(R\) vorkommt, (C) \(a\) ``früher'' als \(x\) in bezug auf \(R\) vorkommt, wo \(x\) ein beliebiges von \(a\) verschiedenes Element von \(U\) ist, (E) höchstens ein Element von \(U\) ``früher'' als \(a\) in bezug auf \(R\) vorkommt, (F) kein von \(a\) verschiedenes Element von \(U\) ``früher'' als \(a\) in bezug auf \(R\) vorkommt. Verf. zeigt nun, daß diese Axiomensysteme miteinander äquivalent sind, wobei die zwei letzteren aus lauter unabhängigen Axiomen bestehen, was für die anderen nicht der Fall ist. Ferner beweist er, daß man eine Definition der wohlgeordneten Menge auch dadurch erhalten kann, daß man einfach die Existenz einer Beziehung \(R\) postuliert, für welche das folgende einzige Axiom gilt: (D) Ist \(U\) eine beliebige Untermenge von \(Z\), welche keine Nullmenge ist, so enthält \(U\) ein \textit{einziges} Element \(a\), welches die Eigenschaft besitzt, daß kein Element von \(U\) ''früher'' als \(a\) in bezug auf \(R\) vorkommt.