Sulla dipendenza lineare delle funzioni di una variabile reale. (Q1461698)

Es sei \[ M_{\lambda}(u)=\left| \begin{matrix} u_1 & u_2 & \ldots & u_n\\ u_1' & u_2' & \ldots & u_n'\\ \hdotsfor4\\ u_1^{(\lambda)} & u_2^{(\lambda)} & \ldots & u_n^{(\lambda)} & \end{matrix} \right| \qquad (\lambda =0,1,\ldots, n-1), \] wo \(u_1, u_2,\ldots, u_n\) analytische Funktionen einer reellen Veränderlichen bezeichnen. Dann gilt der Satz: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß zwischen den Funktionen \(u_i\) genau \(n-\mu\) unabhängige lineare homogene Beziehungen bestehen, ist, daß \(M_{\mu}(u)\), aber nicht \(M_{\mu-1}(u)\), identisch verschwindet. Sind dagegen die Funktionen \(u_i\) nicht analytisch, sondern in einem Intervalle \(I\) differentiierbar bis auf die \(k\)-te Ordnung, und bezeichnet \(\mu\) den Rang (caratteristica) der Matrix \(M_k(u)\) für alle Punkte von \(I\), so bestehen in \(I\) zwischen den Funktionen \(u_i\) genau \(n-\mu\), unabhängige lineare homogehe Beziehungen. Es dürfte, nach dem Verf., wohl nicht leicht sein, von lauter Derivationen abhängige notwendige und hinreichende Bedingungen für den nicht analytischen Fall aufzustellen.