On the generalized mean value theorem in differential calculus. (Q1461702)

Die erste der in der vorstehend besprochenen Arbeit behandelten Fragen wird für \textit{konstantes} \(\vartheta\) bei dem verallgemeinerten Mittelwertsatz \[ \left|\begin{matrix} f(x+h) & \varphi(x+h) & 1\\ f(x) & \varphi(x) & 1\\ f'(\xi) & \varphi'(\xi) & 1 \end{matrix} \right|=0 \quad \text{bezw.}\quad \left|\begin{matrix} f(x+h) & \varphi(x+h) & \psi(x+h)\\ f(x) & \varphi(x) & \psi(x)\\ f'(\xi) & \varphi'(\xi) & \psi'(\xi) \end{matrix} \right|=0 \] beantwortet (\(\xi= x+\vartheta h\)). Es ergibt sich: Es ist entweder \(\vartheta=\frac12\) oder ganz willkürlich. Im ersten Falle ist \(f\) durch \(\varphi\) und \(\psi\) eindeutig bestimmt, im zweiten hat \(f\) die Form \(\alpha\varphi+\beta\psi\) mit konstantem \(\alpha\) und \(\beta\).