On the integral \(\int\limits_0{\vphantom{\int}}^\infty\dfrac{\sin ^nx}{x^m}\,dx\). (Q1461714)

Im Anschluß an seine vorjährige an gleicher Stelle veröffentlichte Note über dasselbe Thema gibt Verf. jetzt die Werte dieser Integrale für den Fall an, daß \(n\) und \(m < n +1\) natürliche Zahlen sind und \(n - m\) gerade ist. Setzen wir das Integral \(=I(n, m)\) und \(\dfrac\pi2\cdot\dfrac{1.3\dots(2k-1)}{2.4\dots2k}=A(k)\) so ist \[ \begin{aligned} &I(2k + 1, 1) = A(k);\;I(2k+1, 3) = A(k - 1) -\tfrac12A(k);\dots\\ &I(2k + 1, 2\mu +1)=\frac1{(2\mu)!}\{N_{\mu0}A(k)+N_{\mu,1}A(k-1)+\cdots+ N_{\mu,\mu}A(k-\mu)\}, \end{aligned} \] und die Zahlenkoeffizienten \(N\) lassen sich aus einfachen Rekursionsformeln bestimmen, -- Ähnlich lautet das Ergebnis für \(I(2k, 2\mu)\).