Some properties of derivative functions. (Q1461760)

Die in \([a, b]\) endliche Funktion \(f(x)\) soll zur Klasse \((D)\) gehören, wenn \(f(x)\) in \([a, b]\) die Ableitung einer Funktion ist; zur Klasse \((D^2)\), wenn dasselbe auch noch für \(f^2(x)\) gilt; für Klasse \((Db)\) bzw. \((Db^2)\), wenn noch Beschränktheit vorausgesetzt wird. Verf. zeigt zunächst durch ein einfaches Beispiel, daß das Quadrat einer Ableitung \((Db)\) nicht selbst wieder eine Ableitung \((D)\) zu sein braucht, so daß also die Klasse \((D^2)\) bzw. \((D^2b)\) wirklich wesentlich enger ist als die Klasse \((D)\) bzw. \((Db)\). Er untersucht nun weitere Bedingungen dafür, daß ein Produkt zweier Ableitungen wieder eine Ableitung sei. Bemerkenswert sind die Resultate, die er für die Klasse \((D^2b)\) gewinnt. Verf. findet eine charakteristische Eigenschaft (``asymptotische Stetigkeit'') der Funktionen \((D^2b)\). Von St. Banach rührt der Satz her: Wenn \(f(x)\) eine \((Db)\) und \(g(x)\) eine \((D^2b)\) ist, dann ist \(f(x)\cdot g(x)\) ebenfalls eine \((D^2b)\). Daraus folgt sogleich, daß, wenn \(f(x)\) eine \((D^2b)\) ist, auch jede ganzzahlige Potenz von \(f(x)\) und überhaupt jede stetige Funktion von \(f(x)\) eine \((D^2b)\) ist. Für \((D^2)\) ergibt sich noch: Gehören \(f\) und \(g\) zu \((D^2)\), so gehört \(f\cdot g\) sicherlich zu \((D)\).