Sur les images des fonctions représentables analytiquement. (Q1461774)

\(f=f(x_1,x_2,\dots,x_n)\) sei eine Funktion von \(n\) reellen Veränderlichen. Die Menge \(I(f)\) aller derjenigen Punkte \((x_1,x_2,\dots,x_n,x_{n+1})\) eines (\(n + 1\))-dimensionalen Raumes \(\mathfrak R_{n+1}\), deren Koordinaten die Gleichung \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)=x_{n+1}\) erfüllen, nennt Verf. das ``Bild'' (``image'') von \(f\) und er untersucht den Zusammenhang zwischen \(f\) und \(I(f)\), wenn \(f\) eine Bairesche Funktion ist. Dabei betrachtet er neben \(I(f)\), das auch als Menge \(E(f=x_{n+1})\) geschrieben werden kann, noch die Mengen \(E(f < x_{n+1})\) und \(E(f > x_{n+1})\), in welche \(I(f)\) den \(\mathfrak R_{n+1}\) zerlegt. Er beweist: Damit \(f\) von höchstens \(\alpha\)-ter Klasse sei, ist notwendig und hinreichend, daß die beiden Mengen \(E(f < x_{n+1})\) und \(E(f > x_{n+1})\) Mengen \(O\) von höchstens \(\alpha\)-ter Klasse sind. (Für den Spezialfall \(\alpha= 1\) hatte Verf. dies bereits früher (C. R. 170, 919, 1920) bewiesen.) Einen ähnlichen Satz beweist er, wenn \(f\) von genau \(\alpha\)-ter Klasse ist. Aus jenem ersten Satz und mit wesentlicher Benutzung der Eigenschaften der Mengen \((A)\) gewinnt dann Verf. das Hauptresultat: Damit \(f\) eine Bairesche Funktion sei, ist notwendig und hinreichend, daß ihr Bild \(I(f)\) eine Borelsche Menge ist.