Les fonctions de classe 1 et les ensembles connexes punctiformes. (Q1461775)

Zunächst werden die beiden Sätze bewiesen (von denen der erste ziemlich selbstverständlich ist): 1. Das Bild einer Funktion \(f (x)\) ist dann und nur dann punkthaft, wenn \(f(x)\) überall dicht Unstetigkeitsstellen besitzt. 2. Das Bild einer Funktion \(f(x)\) der ersten Baireschen Klasse ist dann und nur dann lückenlos zusammenhängend (= im Hausdorffschen Sinn zusammenhängend), wenn jeder Funktionswert von \(f(x)\) von links und von rechts her Grenzwert einer Folge von Funktionswerten ist. Erfüllt also eine Funktion \(f(x)\) der ersten Klasse beide Bedingungen 1 und 2, dann ist ihr Bild (eine Menge \(G_\delta\)) gleichzeitig punkthaft und lückenlos zusammenhängend. Ein Beispiel hierfür ist die Funktion \[ \psi(x)=\textstyle \sum\limits_{n=1}^{\infty } \displaystyle \frac{\varphi(x-r_n)}{2^n}, \] wo \(\{r_n\}\) alle rationalen Zahlen und \(\varphi(x)=\sin \dfrac{1}{x}\) für \(x\neq 0\) bzw. \(= 0\) für \(x = 0\) bedeutet. Das Bild von \(\psi(x)\) zerlegt die Ebene in zwei Teile, wie gezeigt wird. Daraus wird dann gefolgert: Bezeichnet \(I_t\) für irgendeinen Parameter \(t\) das Bild von \(y = t + \psi(x)\), dann ist die Menge \(S=\sum\limits_{n=1}^{\infty }I_{r_n}\) gleichzeitig mit ihrer Komplementärmenge punkthaft (und also auch lückenlos zusammenhängend). Hieraus und insbesondere aus einer Modifikation dieser Menge \(S\) ergibt sich dann eine Verschärfung des von Mazurkiewicz (Fundamenta math. 3, 65, 1922; Ref. vgl. S. 207) erzielten Resultats, daß eine Zerlegung der Ebene in zwei punkthafte Borelsche Mengen dritter Ordnung, nämlich \(F_{\sigma\delta}\) und \(G_{\delta\sigma}\) möglich ist, aber nicht eine solche in zwei Mengen zweiter Ordnung, \(F_\sigma\) und \(G_\delta\). Hier wird nämlich die Ebene in zwei punkthafte Borelsche Mengen zerlegt, von denen die eine \((F_\sigma\cdot G_\delta)\) und die andere \((F_\sigma+G_\delta)\) ist; und zugleich wird gezeigt, daß eine hinsichtlich der Klassifikation der Borelschen Mengen noch günstigere Zerlegung (nämlich in zwei Mengen \((F_\sigma+G_\delta)\)) nicht möglich ist. (III.)