Sur l'inversion des fonctions représentables analytiquement. (Q1461776)

Ist \(y = f(x)\) eine Bairesche Funktion, die alle reellen \(y\)-Werte und zwar jeden nur einmal annimmt, dann ist die zugehörige inverse Funktion \(x = \varphi(y)\) ebenfalls eine Bairesche Funktion. Verf. untersucht nun die Frage: Wenn \(f(x)\) eine Funktion von gegebener Klasse \(\alpha\) ist, was läßt sich über die Klasse der inversen Funktion \(\varphi(y)\) aussagen? Er zeigt, daß sich im allgemeinen nichts hierüber aussagen läßt, nicht einmal, wenn \(f(x)\) eine Funktion der ersten Klasse ist. Er beweist nämlich: Ist \(\alpha\) eine beliebige Zahl der ersten oder zweiten Zahlenklasse, dann existiert immer eine Funktion \(\varphi(y)\) von einer Klasse \(\geqq \alpha\), welche die Umkehrung einer Funktion \(f(x)\) der ersten Klasse ist. Der Beweis stützt sich wesentlich auf folgenden interessanten allgemeinen Satz über lineare Borelsche Mengen: Eine lineare Menge ist dann und nur dann eine Borelsche Menge, wenn sie die Summe zweier Mengen bildet, von denen die eine abzählbar ist, die andere entweder leer ist oder ein eineindeutiges und (einseitig) stetiges Abbild der Menge aller irrationalen Zahlen darstellt. -- Aus diesem Satz folgt, wenigstens für lineare Mengen, sofort der bekannte Satz von Hausdorff und Alexandroff (Math. Ann. 77, 430, C. R. 162, 323; F. d. M. 46, 291 (JFM 46.0291.*), 301, 1916-18), daß jede Borelsche Menge entweder höchstens abzählbar ist oder einen perfekten Bestandteil enthält. (III.)