Sur les fonctions d'ensemble additives et continues. (Q1461780)

Verf. beweist den Satz: Eine (im engeren Sinne) additive und stetige Mengenfunktion \(f(E)\), die für zwei Teilmengen \(E_1\) und \(E_2\) einer beschränkten Menge \(E_0\) die Funktionswerte \(f(E_1)\) und \(f(E_2)\) annimmt, nimmt für passende (meßbare) Teilmengen von \(E_0\) jeden Zwischenwert zwischen \(f(E_1)\) und \(f(E_2)\) an. Die Umkehrung dieses Satzes gilt (wie bei Punktfunktionen) nicht. Wenn \(f(E)\) auf der beschränkten Menge \(E_0\) im weiteren Sinne additiv ist, so werden bekanntlich die oberen und unteren Grenzen der Funktionswerte von \(f(E)\) angenommen. Es folgt daher aus dem Satze des Verf., daß für eine im weiteren Sinne additive und stetige Mengenfunktion \(f(E)\) die in den Teilmengen von \(E_0\) angenommenen Funktionswerte immer ein abgeschlossenes Intervall bilden.