Approximative representation of a function and functional group. (Q1461797)

Es handelt sich um die Konvergenzfrage für Funktionen der Form \[ \underset{0\hfill}{\int^{2\pi }}f(t)\,G_n(x,t)\,dt\;\;\text{und}\;\;\underset{0\hfill}{\int^{2\pi }}f(t)\,G_n(t-x)\,dt, \] die (neben verwandten Formen) schon vielfach untersucht worden sind; s. W. B. Ford, F. d. M. 46, 421 (JFM 46.0421.*), 1916, Y. Okada, F. d. M. 47, 251 (JFM 47.0251.*), 1919 und K. Ogura, F. d. M. 47, 252 (JFM 47.0252.*), 1919. Der Hauptsatz ist dieser: Es sei \(G_n(x,t)\) für \(n = 1\), 2, \dots im Bereich \(0\leqq x\), \(t\leqq 2\pi \) beschränkt und bezüglich \(t\) integrierbar, \(f(x)\) sei in \(0 \leqq x\leqq 2\pi \) durch seine Fourierreihe darstellbar und die Summe über seine Fourierkoeffizienten sei absolut konvergent. Dann ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß in \(0\leqq x\leqq 2\pi \) gleichmäßig \[ \lim_n\underset{0\hfill}{\int^{2\pi }}f(t)\,G_n(x,t)\,dt=f(x) \] sei, die, daß dort gleichmäßig \[ \lim_n\underset{0\hfill}{\int^{2\pi }}\cos\;\nu t\,.\, G_n(x,t)\,dt=\cos\;\nu x\;\text{und}\; \lim_n\underset{0\hfill}{\int^{2\pi }} \sin\;\nu t\,.\,G_n(x,t)\,dt=\sin\;\nu x \] sei (\(\nu=0\), 1, 2, \dots ). -- Durch leichte Spezialisierung ergibt sich ein entsprechender Satz für das zweite der eingangs genannten Integrale. Als Beispiele werden ein De la Vallée Poussinsches, das Poissonsche Integral sowie die Darstellung \[ \lim_n\,rn\,\underset{0\hfill}{\int^{2\pi }} f(t)\,|\,t-x\,|^{2r-1}\,e^{-n|t-x|2r}\,dt=f(x) \] behandelt. -- Im \textit{zweiten} Teile der Arbeit werden gewisse Gruppen von Funktionen eingeführt und verwandte Fragen behandelt. (IV 3 D.)