Note on a class of polynomials of approximation. (Q1461802)

Die in der vorstehenden Abhandlung für \(m > 1\) erledigte Untersuchung wird hier für \(m = 1\) durchgeführt, wobei nur die Existenz und Einzigkeit derjenigen Funktion \[ \varPhi(x) = c_1p_1(x)+\cdots+ c_np_n(x) \] in Frage kommt, für welche \[ \int\limits_a^b | f (x) - \varPhi(x) |\, dx = \text{Minimum}. \] Die Existenz der ``besten'' Näherungsfunktion ergibt sich unter ebenso allgemeinen Voraussetzungen wie in der vorigen Abhandlung, und der Beweis ist sogar einfacher als für \(m > 1\). Dagegen liegen hinsichtlich der Einzigkeit die Verhältnisse wesentlich anders als für \(m > 1\), wie Verf. durch das Beispiel \[ f(x) = 1,\quad n = 1,\quad p_1(x) = x \] zeigt, wobei \[ \int\limits_{-1}^1|f(x)- c_1p_1(x)|\, dx \] sein Minimum für \textit{jedes} \(c_1\) mit \(-1\leqq c_1 \leqq 1\) annimmt. Daher beschränkt sich Verf. bei dem Nachweis der Einzigkeit auf den Fall, wo \(p_\nu(x) = x^{\nu-1}\) (\(\nu = 1,\,\ldots,\, n\)), also die zur Konkurrenz zugelassene Funktion \(\varPhi(x)\) ein Polynom der Ordnung \(\leqq n - 1\) ist. Der Beweis benutzt die Tatsache, daß ein Polynom durch seine Nullstellen bestimmt ist, und gelingt aus diesem Grunde, wie Verf. ohne Durchführung des Beweises bemerkt, auch für den Fall, wo \(\varPhi(x)\) eine trigonometrische Summe ist.