Note on the median of a set of numbers. (Q1461804)

Bei \(n\) gegebenen Zahlen \(a_1\leqq a_2 \leqq\cdots\leqq a_n\) der \(x\)-Achse ist diejenige Zahl \(x=x_1\), welche die Summe \[ S_1(x)= \sum_{i=1}^n|x - a_i| \] zum Minimum macht, für ungerades \(n\) eindeutig bestimmt als die mittlere der \(n\) Zahlen, für gerades \(n = 2k\) dagegen unter der Bedingung \(a_k \leqq x \leqq a_{k+1}\) beliebig. Verf. zeigt, daß für jedes \(p > 1\) eine eindeutig bestimmte Zahl \(x = x_p\) existiert, welche die Summe \[ S_p(x)= \sum_{i=1}^n| x - a_i|^p \] zum Minimum macht. Für \(p \to1\) strebt \(x_p\) einem wohlbestimmten Grenzwerte \(X\) zu, der mit \(x_1\) zusammenfällt, falls diese Zahl eindeutig bestimmt ist (d. h. für ungerades \(n\), und für gerades \(n\) bei \(a_k = a_{k+1}\)), und andernfalls zur \textit{Definition} von \(x_1\) dienen kann. Für \(p\to\infty\) strebt \(x_p\) gegen \(\frac12(a_1 + a_n)\).