Introduction to the theory of Fourier's series and integrals. Zweite, völlig umgearbeitete Auflage. (Q1461824)

Das vorliegende Buch bildet den ersten Band einer Neuauflage des 1906 erschienenen Werkes des Verf. über die Fourierschen Reihen und Integrale und die mathematische Theorie der Wärmeleitung. Der zweite, mittlerweile veröffentlichte Band behandelt die mathematische Theorie der Wärmeleitung. Die Fortschritte der Wissenschaft seit 1906 haben die völlige Neubearbeitung des Werkes notwendig gemacht. -- Eine auf den Grund gehende Darstellung der Theorie der Fourierschen Reihen ohne gesicherte Vorkenntnisse betreffend Konvergenz unendlicher Reihen und Integrale ist nicht gut möglich. Diese Fragen hängen ihrerseits wieder mit den Fundamentalbegriffen der Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen zusammen. Und so gibt das Werk nach einer historischen Einleitung (S. 1-15) zunächst in den drei ersten Kapiteln eine Übersicht über die Lehre von den Irrationalzahlen nach Dedekind (S. 16-28), unendliche Mengen, Folgen und Reihen (S. 29-48), Funktionen einer reellen Variablen. Grenzwerte und Stetigkeit (S. 49-75). Hier findet sich auch einiges über unstetige Funktionen und Funktionen von mehreren reellen Variablen. In dem umfangreichen vierten Kapitel (S. 76-121) wird das bestimmte Integral im Sinne von Riemann abgehandelt, wobei namentlich auch Integrale erstreckt über unendliche Intervalle sowie Integrale nichtbeschränkter Funktionen eingehend betrachtet werden. Das Kap. V (S. 122-168) beschäftigt sich mit unendlichen Reihen, deren Glieder Funktionen einer reellen Variablen darstellen, das nächste Kapitel (S. 169-195) mit der hiermit verwandten Theorie von bestimmten Integralen mit einem Parameter. Hier finder man u. a. einen Abriß der Theorie der Potenzreihen, einiges über die Verallgemeinerung des Abelschen Stetigkeitssatzes, einen diesen Gegenstand berührenden Satz von Bromwich usw. Das nächste Kapitel (S. 196-247) bringt nach diesen Vorbereitungen die eigentliche Theorie der Fourierschen Reihen nach Dirichlet, Poisson und Fejér, das 8. Kap. (S. 248-263) Ausführungen über die Natur der Konvergenz Fourierscher Reihen: Größenordnung der Koeffizienten, gleichmäßige Konvergenz. Integration und Differentiation. Das 9. Kap. (S. 264-282) beschäftigt sich mit den Partialsummen einer Fourierschen Reihe und dem Gibbschen Phänomen, das letzte, 10. Kap. (S. 283-294) im Anschluß an die Arbeiten von Pringsheim mit den Fourierschen Integralen. Anhang I (S. 295-301) bringt einiges über die harmonische Analyse und die ``Periodogram analysis'' nach Schuster, Anhang II eine bis 1920 fortgeführte Bibliographie. Das vorliegende Buch stellt sich bewußt auf den Standpunkt der klassischen Integrationstheorie. Die sich des Lebesgueschen Integralbegriffes bedienenden, zum Teil weitgehenden Erweiterungen der Theorie konnten darum nicht aufgenommen werden. Innerhalb der sich so gestellten Grenzen erfüllt das Werk von Carslaw ausgezeichnet den Zweck, eine gründliche Einführung in die Theorie der Fourierschen Reihen und Integrale zu bieten. Dies auch durch die breite, behagliche Darstellung, zahlreiche im Text und am Schluß jedes Kapitels gebotene Übungsaufgaben und die vielen sehr instruktiven Figuren.