Fourier's series and analytic functions. (Q1461826)

Es sei \(u\) eine positive Veränderliche. Dann gilt zunächst das Lemma: Ist \(\psi (u)\) dreimal differentiierbar und (für \(u \to 0\)) \(\psi(u) = o(u^2)\), \(\psi'''(u) = O\left(\dfrac1u\right)\), dann gilt \(\psi''(u) \to 0\). Des weiteren betrachten die Verf. den Ausdruck \[ \varPhi(u) = \frac12\{ f(a + u) + f(a - u) -2s\}\qquad (0 < a < 2\pi), \] wobei \(f (x)\) eine gegebene reelle integrable Funktion der reellen Veränderlichen \(x\) ist; sie finden \(\varPhi(u) \to 0\) für \(u \to 0\) als notwendige und zugleich hinreichende Bedingung dafür, daß die Fouriersche Reihe für \(f (x)\) an der Stelle \(x = a\) nach dem Grenzwerte \(s\) konvergiert, vorausgesetzt, daß \(\varPhi(u)\) noch einer der zwei folgenden Bedingungen A, B genügt. A. \(\varPhi(u)\) ist zweimal differentiierbar und \(\varPhi''(u) = O\left(\dfrac1{u^2}\right)\). B. \(\varPhi(u) = \varPhi(u, 0)\) ist (für \(v = 0\)) der Realteil einer Funktion \(F(w) = F (u + iv)\), die regulär und beschränkt ist in einem gleichschenkligen Dreieck \(\triangle\), dessen Spitze der Nullpunkt ist und dessen zugehörige Höhe in die positive \(u\)-Achse fällt. Die Bedingung der Beschränktheit von \(| F(z)|\) unter B kann durch die andere ersetzt werden, daß das über das Dreieck \(\triangle\) erstreckte Doppelintegral \(\iint | F(w)|^2\, du\, dv\) endlich bleibt. (IV 4.)