Über die Summation der Fourierschen Reihen und Integrale. (Q1461828)

Zur Summation des Fourier-Integrals \[ F(x,z)=\frac1\pi\int\limits_a^b f(u) \frac{\sin z(u-x)}{u-x}\,du, \qquad z\to\infty, \] führt der Verf. folgenden Grenzprozeß ein: \[ \lim_{z\to\infty} \int\limits_0^1\varphi(t)F(x,zt)\,dt: \int\limits_0^1\varphi(t)\,dt. \tag{\text{*}} \] Hierbei ist \(f (x)\) im Lebesgueschen Sinne integrabel im endlichen Intervall \((a, b)\), \(\varphi(t)\) ist positiv und monoton wachsend für \(0 < t < 1\) und \[ \lim_{\delta\to0}\int\limits_0^{1-\delta}\varphi(t)\log\frac1{1-t}\,dt \] ist endlich. Es wird gezeigt, daß der Grenzwert (*) existiert und mit \(f (x)\) übereinstimmt in jedem inneren Punkte \(x\), wo \[ \lim_{h\to0} (f(x+h) + f(x-h) - 2f(x)) = 0, \] und zwar gleichmäßig in jedem inneren Teilintervall eines Stetigkeitsintervalls. Hieraus folgen für \(\varphi(t) =\alpha(1 - t)^{\alpha-1}\) (\(0< \alpha\leqq1\)) im wesentlichen die Sätze von Fejér, M. Riesz und Chapman über die Cesàro-Summabilität der Fourierschen Reihe einer stetigen Funktion.