Reihentheoretische Sätze und ihre Anwendungen in der Theorie der Fourierschen Reihen. (Q1461835)

Es seien die Funktionen \(a_n (x)\), \( n = 1, 2,\dots\), im Intervall \(\beta \leqq x \leqq \gamma\) Lebesgue-integrierbar, und es bezeichne \(s_n (x)\) die Partialsummen der Reihe \(\sum a_n (x), S_n(x)\) deren arithmetische Mittel, sowie \(S_n^*(x)\) die arithmetischen Mittel der Partialsummen der Reihe \(\sum \lambda_n a_n(x)\). Dann gibt Verf. zunächst zwei auch an sich sehr interessante Sätze über solche Reihen: Satz \(2^*\). Wenn die Zahlen \(\int_\beta^\gamma |S_n^* (x)| \, dx\) für jede monotone Nullfolge \(\{\lambda_n\}\) beschränkt sind, so sind es auch die Zahlen \(\int_\beta^\gamma |s_n (x)| \, dx\). Satz \(3^*\). Wenn dagegen die Zahlen \(\int_\beta^\gamma |S_n^* (x)| \, dx\) nur für jede (monotone und nach unten) konvexe Nullfolge \(\{\lambda_n\}\) beschränkt sind, so gilt dasselbe wenigstens noch von den Zahlen \(\int_\beta^\gamma |S_n^* (x)| \, dx\). Die Beweise führt Verf. für den Fall durch, daß die \(a_n (x)\) von \(x\) nicht abhängen (um die dann geltenden Sätze zu erhalten, nehme man vorstehend \(a_n (x) = a_n\) für \(0 \leqq x \leqq 1 = \gamma\)), und es gelingt ihm auf Grund seiner Sätze, zwei Fragestellungen aus der Theorie der Fourier-Reihen zu erledigen: 1. W. H. Young hatte gefunden (On the Fourier series of bounded functions, Lond. M. S, Proc. (2) 12, 41; F. d. M. 44, 300 (JFM 44.0300.*), 1913), daß die Kosinusreihe \( \sum q_n \cos nx\) immer dann eine Fourier-Reihe darstellt, wenn die Nullfolge \(\{q_n\}\) monoton und konvex ist, und gefragt, ob die Voraussetzung der Konvexität dabei unterbleiben könne. Verf. zeigt, daß dies nicht der Fall ist. 2. Die zweite Fragestellung betrifft Faktorenfolgen, die jede Fourier-Reihe wieder in eine Fourier-Reihe überführen. W. H. Young hatte in dieser Richtung bewiesen (On Fourier series and functions of bounded variation, Lond. R. S. Proc. (A) 88, 561; F. d. M. 44, 299 (JFM 44.0299.*), 1913), daß mit der Reihe \[ \sum (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \quad \text{ auch } \quad \sum \lambda_n (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \] immer dann eine Fourier-Reihe ist, wenn \(\sum \lambda_n a_n \cos nx\) mit der gliedweise differentiierten Fourier-Reihe einer schwankungsbeschränkten Funktion übereinstimmt. Verf. zeigt umgekehrt, daß die so erklärten \(\{\lambda_n\}\) die einzigen Faktorenfolgen der gesuchten Art sind. (IV 4.)