Über die Lebesgueschen Konstanten bei den Fourierschen Reihen. (Q1461836)

Für die Lebesgueschen Konstanten \[ \varrho_n = \frac 2\pi \int_0^{\frac \pi{2}} \frac {|\sin (2n +1)x|}{\sin x} \, dx \qquad (n=0,1,2,\dots) \] gibt Verf. den neuen, eleganten Ausdruck \[ \varrho_n = \frac {16}{\pi^2} \sum_{\nu = 1}^\infty \frac 1{4\nu^2 - 1} \left( \frac 11 + \frac 13 + \frac 15 + \cdots + \frac 1 {2\nu (2n+1) - 1} \right). \] Aus ihm ergibt sich 1. in Beantwortung einer Frage von Gronwall (Math. Ann. 72, 244-261, 1912; vgl. S. 256), daß bei der Folge \(\varrho_n\) die \(k\)-te Differenz (\(k = 1, 2, 3,\dots \)) für alle \(n\) von Anfang an das Vorzeichen \((-1)^{k-1}\) besitzt (Gronwall hatte dies nur für die großen \(n\) bewiesen), 2. auf wesentlich einfacherem Wege und in berichtigter Gestalt die asymptotische Formel \[ \varrho_n = \frac 4{\pi^2} \log (2n + 1) + A_0 + \sum_{\nu = 1}^p \frac {A_\nu}{(2n+1)^{2\nu}} + R_{p+1}, \] welche Gronwall (a. a. 0. Formel (34)) mit einem irrtümlichen Zusatzglied \(\left(1-\dfrac 8{\pi^2} \right) \dfrac 1{2n + 1}\) angegeben hatte.