Extremumfragen bei analytischen Funktionen im Einheitskreis. (Q1461867)

Im ersten Teil der Arbeit behandelt der Verf. das Extremumproblem: Für welche für \(|z|\leqq 1\) reguläre Funktion \(f(z) = \sum\limits_{\nu =0}^\infty a_\nu z_\nu\) wird die Hermitesche Form \(\sum\limits_{\nu =0}^\infty\gamma_\nu |a_\nu |^2\) \((\gamma_\nu\geqq 0)\) am kleinsten, wenn die Koeffizienten \(n\) linearen Bedingungen \(\varLambda_k(f)=\sum\limits_{\nu =0}^\infty c_{k\nu}a_\nu = C_k\) \((k = 1, 2,\ldots, n)\) unterworfen sind? Es wird gezeigt, daß unter gewissen Voraussetzungen über die \(\gamma_\nu\) und \(c_{k\nu}\) die Lösung existiert und eindeutig ist und formal ebenso wie bei endlich vielen Variablen gewonnen werden kann. So ergibt sich z. B., daß die Funktion mit kleinstem Normmittel auf dem Einkeitskreis oder kleinster Bildfläche bei gegebenen Wertezuordnungen \(f(z_\nu ) = w_v\) \((\nu = 1, 2,\ldots, n)\) in einfacher Weise aus elementaren Funktionen aufgebaut werden kann. Im zweiten Teil handelt es sich um die Bestimmung der für \(|z|\leqq 1\) regulären Funktion, die dem Betragmittel \(I_f = \dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}|f(e^{i\varphi})| d\varphi\) bei den oben betrachteten Wertezuordnungen den kleinsten Wert erteilt. Die Lösung ergibt sich unter wesentlicher Ausnutzung des Umstandes, daß das Integral als eine \textit{konvexe} Eichfunktion im Raume der betrachteten Funktionen aufgefaßt werden kann, als eine wohlbestimmte rationale Funktion von gewisser einfacher Bauart. Der Existenzbeweis wird aus einer Arbeit von F. Riesz (Acta Math. 42, 145; F. d. M. 47, 272 (JFM 47.0272.*), 1919-20) herübergenommen, wo die entsprechende Fragestellung bei vorgegebenen ersten \(n\) Koeffizienten \(a_\nu\) behandelt wird.