Über das Wachstum der Potenzreihen in ihrem Konvergenzkreise. I. (Q1461876)

\(\mathfrak{P}(z) = c_0 + c_1z+c_2z^2+\cdots\) sei eine für \(|z|<1\) konvergente Potenzreihe, \(M(r)\) das Maximum von \(|\mathfrak{P}(z)|\) für \(|z|=r\). Der Verf. bespricht zunächst die von Hadamard und von Fabry gefundenen gesetzmäßigen Beziehungen zwischen der Größenordnung von \(M(r)\) (für \(r\to 1\)) und der Größenordnung der \(|c_n|\) \ (für \(n\to\infty\)) und setzt auseinander, was ihn an diesen Ansätzen und Ergebnissen nicht ganz befriedigt. Er selbst definiert den ``Wachstumsexponenten \(\omega\) von \(\mathfrak{P}(z)\)'', wie üblich: \[ \omega = \underset{r=1}{\overline{\lim}} \dfrac{\log M(r)}{\log (1-r)^{-1}}. \] Dagegen definiert er den ``Wachstumsexponenten \(\varrho\) der Koeffizienten'' folgendermaßen: \(\varPi_n\) sei das Maximum von \[ |c_0(x_1y_1+\cdots x_ny_n) + c_1(x_1y_2+\cdots +x_{n-1}y_n) +\cdots + c_{n-1}x_1y_n| \] unter den Nebenbedingungen \[ x_1\bar{x}_1+\cdots+x_n\bar{x}_n=1, \;y_1\bar{y}_1+\cdots+y_n\bar{y}_n=1 \] (\(x_i\) und \(\bar{x}_i\), \(y_i\) und \(\bar{y}_i\) sind konjugiert-komplex); dann wird \[ \varrho = \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}\dfrac{\log\varPi_n}{\log n} \] gesetzt. Es stellt sich heraus, daß \(\omega = \varrho\) ist. \(\varrho\) kann auch durch \(\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}(\log\varPi_n': \log n)\) definiert werden, wo \(\varPi_n'\) das Maximum von \[ |c_0(x_1\bar{x}_1+\cdots x_n\bar{x}_n) + c_1(x_1\bar{x}_2+\cdots +x_{n-1}\bar{x}_n) +\cdots + c_{n-1}x_1\bar{x}_n| \] unter der ersten der obigen Nebenbedingungen ist.