Arithmetische Eigenschaften und analytischer Charakter. (Q1461878)

Ein ganz selten schöner Vortrag, der allen, die ihn gehört haben, wegen seiner interessanten Ergebnisse wie wegen der Architektonik seines Aufbaues noch in lebhafter Erinnerung sein wird. Eingangs wird der Problemenkreis charakterisiert. Der Ausgangspunkt ist der bekannte Satz von Eisenstein, der zum ersten Male die arithmetischen Eigenschaften einer Potenzreihe \(\sum a_nz^n\) mit dem analytischen Charakter der dargestellten Funktion \(f(x)\) verknüpft, und der besagt: die rationalzahlige Potenzreihe einer algebraischen Funktion ist (nach eventueller ganzzahliger Streckung der \(z\)-Ebene und Subtraktion einer Konstanten) \textit{ganzzahlig}. Borel, Carlson, Pólya haben hier, neben anderen, weitergearbeitet, und dem letzten ist es durch geschickte Verknüpfung mehrerer moderner, scheinbar ganz heterogener Ergebnisse der Funktionentheorie gelungen, einen besonders schönen und weitgehenden Satz zu beweisen. Um ihn bequem zu formulieren, wird ein einfach-zusammenhängendes Gebiet der \(z\)-Ebene, das den Nullpunkt enthält, als \textit{Domäne} \(D\) bezeichnet. Diese bilde man so auf ein Kreisgebiet ab, daß \(z = 0\) in den Mittelpunkt übergeht und daß das Vergrößerungsverhältnis dort \(= 1\) ist. Der Radius des Bildkreises ist dann eindeutig bestimmt; er heiße \(\varrho (D)\). Dann lautet der \textit{Satz}; Wenn eine Funktion mit ganzzahliger Potenzreihe in einer Domäne \(D\), für die \(\varrho (D) > 1\) ist, eindeutig und bis auf isolierte singulare Stellen regulär ist, so ist die Funktion rational. Die Skizzierung des überaus geistreichen Beweises bildet den Hauptinhalt des Vortrags. -- Als. ``besonders pikantes Korollar'' ergibt sich der folgende Satz, der in einem Spezialfalle (\(D =\) Kreisgebiet) schon von Carlson bewiesen war: Wird \(D\) von einer geschlossenen Jordankurve begrenzt, ist \(\varrho (D) = 1\), und ist die durch die ganzzahlige Potenzreihe \(\sum a_nz^n\) dargestellte Funktion in \(D\) eindeutig und (abgesehen vielleicht von isolierten Stellen) regulär, so ist \(f(z)\) entweder rational oder \(D\) ist der natürliche Existenzbereich der Funktion. -- Eine vollständige Ausführung der Beweise ist später in den Lond. M. S. Proc. 21, 22-38, 1922 erschienen. (Vgl. den Nachtrag.)